Napisz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f\left(x,y \right) =arctg( \frac{x}{y} )}\), prostopadłej do prostej l:
\(\displaystyle{ l: x=t, y=- \frac{t}{\sqrt{3}}, z=\frac{t}{\sqrt{3}}}\)
Próbuję rozwiązać to tak:
Przekształcone równanie prostej l:
\(\displaystyle{ x=-\sqrt{3}y=\sqrt{3}z}\)
Wyznaczam wektor kierunkowy pr. l:
\(\displaystyle{ A\left(1 , -\frac{1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }\right)}\)
\(\displaystyle{ B\left(2 , -\frac{2}{ \sqrt{3} } , \frac{2}{ \sqrt{3} }\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \left(1 , -\frac{1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }\right)}\)
Wektor normalny płaszczyzny stycznej jest równoległy do wektora kierunkowego
\(\displaystyle{ \vec{n} =k \cdot \vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{1}{y\left( \left( \frac{x}{y} \right) ^{2} +1 \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = - \frac{x}{y^2 \left( \left( \frac{x}{y} \right) ^{2} +1 \right) }}\)
Co zrobić dalej, jak policzyć k?