Zbadac wzajemne polozenie sie prostych

[kejkun7]

Zad.3

Zbadac wzajemne polozenie

a) prostych l : \(\displaystyle{ $(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,3,-1)+t(-1,2,3) \ \mathrm{i} \ k:(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,5,2)+t(1,-2,-3)$ , $t\in R$;}\)

b) prostej \(\displaystyle{ $l:(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,3,-1)+t(-1,2,3) \ \mathrm{i}$ plaszczyzny $\pi:x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1$}\)

w podpunkcie a)
robiłem identycznym sposobem jak tu znalazłem:

i wyszło mi, że proste nakładają się.

Natomiast w odpowiedzi jest, że proste przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ \left( 3,1,-4 \right)}\)

to jak to jest ?!

[radagast]

Zad.3

Zbadac wzajemne polozenie

a) prostych l : \(\displaystyle{ $(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,3,-1)+t(-1,2,3) \ \mathrm{i} \ k:(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,5,2)+t(1,-2,-3)$ , $t\in R$;}\)


w podpunkcie a)
robiłem identycznym sposobem jak tu znalazłem:

i wyszło mi, że proste nakładają się.

Natomiast w odpowiedzi jest, że proste przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ \left( 3,1,-4 \right)}\)

to jak to jest ?!

Dobrze Ci wyszło. W odpowiedziach zdarzają się błędy.

-- 26 maja 2014, o 13:38 --

Zad.3

Zbadac wzajemne polozenie


b) prostej \(\displaystyle{ $l:(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,3,-1)+t(-1,2,3) \ \mathrm{i}$ plaszczyzny $\pi:x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1$}\)

Podana prosta jest równoległa do wektora \(\displaystyle{ \left[-1,2,3 \right]}\)
a płaszczyzna jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ \left[1,2,-1 \right]}\)
jednocześnie \(\displaystyle{ \left[-1,2,3 \right]\circ\left[1,2,-1 \right]=0}\) no to te wektory są prostopadłe , a więc prosta jest równoległa do płaszczyzny.

[kejkun7]

a jak to obliczyć w a) ?
bo zwątpiłem czy mam dobrze :/

[radagast]

wektory kierunkowe tych prostych są równoległe no to nie mogą się przecinać.
A skoro dla parametru t=1 w pierwszej prostej wychodzi punkt drugiej prostej to się nakładają.

[kejkun7]

a jak np. policzymy kąt między tymi wektorami równoległymi:

\(\displaystyle{ v = [ -1,2,3]}\) rownoległy do \(\displaystyle{ l}\)

\(\displaystyle{ v = [ 1,-2,-3]}\) rownoległy do \(\displaystyle{ k}\)

i teraz kąt między nimi:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{u \circ v}{v^2} = \frac{(-1,2,3)(1,-2,-3)}{14} = \frac{-14}{14} = -1}\)
czyli są równoległe/ pokrywają się, prawda?

[radagast]

prawda, ale wystarczy zauważyć , ze ich współrzędne są proporcjonalne.

[kejkun7]

gubię się,
czy ten wzór nie powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{u \circ v}{|u||v|} = \frac{(-1,2,3)(1,-2,-3)}{\sqrt{14} \cdot \ \sqrt{14}}}\)
?