Współrzędne 3 punktu oddalonego o pewną odległość od punktu1

[Dym71]

Witam, potrzebuję pomocy mianowicie mam 2 punkty z podanymi współrzędnymi dla przykładu:
\(\displaystyle{ A(2,1)}\)
\(\displaystyle{ B(3,4)}\)
Jak znaleźć współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) jeżeli wiemy, że leży on na prostej i jego odległość od punktu \(\displaystyle{ A}\) wynosi np. 10:
\(\displaystyle{ |AC|=10}\).

Kombinuję ale jakoś nie mogę wymyślić. Znam wzór na równanie prostej którą można poprowadzić przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) czy też wzór na odległość między punktami na płaszczyźnie i próbowałem przekształcać te wzory ale wychodzą mi same głupoty.

Najbardziej zależałoby mi na jakimś uniwersalnym wzorze jeśli takowy istnieje ponieważ muszę zaimplementować ten wzór w programie, w następnej kolejności przydałoby się zrozumieć

Z góry dzięki za pomoc

[mortan517]

Ale na jakiej prostej leży ten punkt \(\displaystyle{ C}\)?

[Dym71]

Na prostej którą tworzą punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

[mortan517]

Więc tak czy siak najpierw musisz wyznaczyć jaka to prosta, a następnie ze wzoru na odległość dwóch punktów.

edit: to znaczy można wszystko uzależnić od współrzędnych punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), ale wzór będzie złożony, jednak jeśli zależy Ci na uniwersalności to jak najbardziej można tak zrobić (np. dla jakichś znanych współrzędnych, ale nie podanych).

[Dym71]

To to ja już wiem Jak wcześniej napisałem - próbowałem wyprowadzić jakiś ogólny wzór z ogólnego równania prostej ale wynik po obliczeniu pozostawia wiele do życzenia ładnie mówiąc. Jeżeli chodzi o wzór to może być on bardzo skomplikowany ponieważ obliczenia będzie prowadził komputer

[mortan517]

No więc oznaczmy:
\(\displaystyle{ A=(x_A, y_A) \ \ B=(x_B, y_B) \ \ C=(x,y)}\)

Oraz odległość \(\displaystyle{ |AC|=d}\)

wtedy prawdziwe są wzory:
\(\displaystyle{ (x_B - x_A)(y-y_A)=(y_B-y_A)(x-x_A) \\ (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = d^2}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ y}\) z pierwszego i wstawiamy do drugiego uzależniając \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ x_A, y_A, x_B, y_B, d}\)

Poradzisz sobie dalej?

[Dym71]

Dziękuję Ci bardzo za pomoc ale potrzebuję jej jeszcze trochę

Oto co udało mi się zrobić:

i teraz się zaciąłem na momencie gdzie muszę wyciągnąć przed nawias(tam gdzie znak zapytania) X dla punktu C(Xc). Proszę o pomoc co mam zrobić dalej. Ogólnie zrobiłem przykład na częściach i działa:

tzn. szukanym Xc jest rozwiązanie równania kwadratowego tam gdzie dodajemy pierwiastek z delty(współrzędne tego punktu w tym przypadku nie mogą być ujemne). Problem mam z uzyskaniem wzoru "uniwersalnego" a na tym właśnie mi zależy.

Pozdrawiam

[mortan517]

uaa potworne obliczenia, proponuję prostszą ścieżkę:

\(\displaystyle{ y-y_A= \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} (x-x_A)= a (x-x_A) \\ y= a(x-x_A) + y_A}\)

Przez \(\displaystyle{ a=tg \alpha = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\) oznaczmy współczynnik kierunkowy prostej, uprości nam to kod jeżeli policzymy tylko raz na początku.

I teraz wstawiamy nasz \(\displaystyle{ y}\) do drugiego równania:
\(\displaystyle{ (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = d^2 \\ (x-x_A)^2 + (a(x-x_A) + y_A -y_A)^2 = d^2 \\ (x-x_A)^2 + (a(x-x_A))^2 = d^2 \\ (x-x_A)^2 ( 1 +a^2) = d^2 \\ (x-x_A)^2= \frac{d^2}{1 +a^2} \\ x-x_A = \pm \sqrt{\frac{d^2}{1 +a^2}} \\ x = \pm \sqrt{\frac{d^2}{1 +a^2}} + x_A}\)

Mamy już pierwszą współrzędną, teraz wystarczy wstawić do tego wzoru \(\displaystyle{ y=a(x-x_A) + y_A}\) za \(\displaystyle{ x}\) i uzależnimy od reszty drugą.


Edit: a właśnie czemu odrzucasz ujemne rozwiązanie? Powinny być \(\displaystyle{ 2}\)

[Dym71]

Dziękuję Ci bardzo, bez Ciebie bym sobie na pewno nie poradził

Jeżeli chodzi o ujemne rozwiązanie to odrzucam je ponieważ mój wynik(obliczone współrzędne) powinny być jednoznaczne gdyż jest to lokalizacja elementu na panelu - element nie może być w 2 miejscach równocześnie a i panel nie posiada wartości ujemnych(mówiąc szczerze to posiada ale są poza panelem więc jest to bez sensu).

Rozwiązania jeszcze nie testowałem ale z pewnością działa. Jeszcze raz dziękuję i pozdrawiam.