Kąt między płaszczyznami.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 34 razy
Kąt między płaszczyznami.
Dzień dobry.
Mam za zadanie obliczyć kąt między płaszczyznami. Korzystając ze wzoru na cosinus kąta wyszło mi 2.
Oto moje płaszczyzny:
\(\displaystyle{ H_{1} : z - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ H_{2} : \sqrt{3}y + z + 5 = 0}\)
Ta pierwsza wygląda jak zbiór punktów na osi z i z rysunku wynika, że leży ona w płaszczyźnie tej drugiej płaszczyzny...
Co teraz?
Mam za zadanie obliczyć kąt między płaszczyznami. Korzystając ze wzoru na cosinus kąta wyszło mi 2.
Oto moje płaszczyzny:
\(\displaystyle{ H_{1} : z - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ H_{2} : \sqrt{3}y + z + 5 = 0}\)
Ta pierwsza wygląda jak zbiór punktów na osi z i z rysunku wynika, że leży ona w płaszczyźnie tej drugiej płaszczyzny...
Co teraz?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Kąt między płaszczyznami.
Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)
Wektory normalne tych płaszczyzn to:\(\displaystyle{ \left[ 0,0,1\right] i\left[ 0, \sqrt{3},1 \right]}\)
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich normalnymi. Łatwo to wyliczyć z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \vec{n _{1} } \circ \vec{n _{2} }= \left| \vec{n _{1} }\right| \cdot \left| \vec{n _{2} }\right| \cdot \cos \alpha =x _{1} x _{2} +y _{1} y _{2} +z _{1} z _{2}}\)
U Ciebie:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} \sqrt{4}\cos \alpha =0 \cdot 0+0 \cdot \sqrt{3}+1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} \vee \alpha =- \frac{ \pi }{3}}\)
Wektory normalne tych płaszczyzn to:\(\displaystyle{ \left[ 0,0,1\right] i\left[ 0, \sqrt{3},1 \right]}\)
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich normalnymi. Łatwo to wyliczyć z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \vec{n _{1} } \circ \vec{n _{2} }= \left| \vec{n _{1} }\right| \cdot \left| \vec{n _{2} }\right| \cdot \cos \alpha =x _{1} x _{2} +y _{1} y _{2} +z _{1} z _{2}}\)
U Ciebie:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} \sqrt{4}\cos \alpha =0 \cdot 0+0 \cdot \sqrt{3}+1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} \vee \alpha =- \frac{ \pi }{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 34 razy
Kąt między płaszczyznami.
Dziękuję bardzo Ja skorzystałam z wzoru \(\displaystyle{ \frac{|AA + BB + CC|}{ \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} }}\). Chyba jest nieprawidłowy w takim razie.
EDIT: Aaaa źle podstawiałam Ten wzór działa, wychodzi 1/2.
Pozdrawiam
EDIT: Aaaa źle podstawiałam Ten wzór działa, wychodzi 1/2.
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 25 cze 2012, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 27 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Kąt między płaszczyznami.
henryk pawlowski oczywiście ma rację. Dzięki za czujność.
Twój wzór to ten sam co ja zastosowałem. Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej
\(\displaystyle{ \cos \left\{ \angle \left( \pi _{1}, \pi _{2}\right)\right\}= \frac{A _{1} A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}}{ \sqrt{A_{1} ^{2} + B_{1} ^{2}+ C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2} ^{2} + B_{2} ^{2}+ C_{2}^{2}} }}\).
Twój wzór to ten sam co ja zastosowałem. Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej
\(\displaystyle{ \cos \left\{ \angle \left( \pi _{1}, \pi _{2}\right)\right\}= \frac{A _{1} A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}}{ \sqrt{A_{1} ^{2} + B_{1} ^{2}+ C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2} ^{2} + B_{2} ^{2}+ C_{2}^{2}} }}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Kąt między płaszczyznami.
Kąt pomiędzy ustalonymi wektorami normalnymi może być rozwarty, ale przez kąt pomiędzy płaszczyznami rozumiemy kąt ostry (lub prosty).kerajs pisze:Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Kąt między płaszczyznami.
Jeśli to ma być wzór na kosinus kąta pomiędzy płaszczyznami, to powinna być wartość bezwzględna. Przecież wynik nie powinien zależeć od tego, jaki zwrot wektora normalnego wybrałeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 34 razy
Kąt między płaszczyznami.
Hmm... Jakoś nie umiem sobie tego wyobrazić... Jak sie to narysuje to widac, ze x i y też rosną, że są jakieś x i y, które nie są równe 0. Chyba, że czegoś nie rozumiem?kerajs pisze:Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Kąt między płaszczyznami.
A plaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\) umiesz sobie wyobrazić? To teraz ją przesun w górę, tak, żeby przechodziła przez \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 34 razy
Kąt między płaszczyznami.
Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty. I zastanawia mnie wlasnie to, ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\)). Czyli punkt \(\displaystyle{ (1,2,4)}\) tez i tak dalej... No i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?
Ostatnio zmieniony 20 maja 2014, o 21:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Kąt między płaszczyznami.
Możesz wyjaśnić, co po polsku znaczy to zdanie?mooniika pisze:Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty.
ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\))
na jakiej płaszczyźnie? Nie każdy punkt W PRZESTRZENI spełnia to równanie (np. \(\displaystyle{ (7,1,1)}\)).
A co ma być z tym wzorem? Jest, i już. Punkty, które leżą w płaszczyznie opisanej tym wzorem spełniają równanieNo i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 34 razy
Kąt między płaszczyznami.
Chodziło mi w zasadzie o to, że jak mamy płaszczyzne \(\displaystyle{ z - 4 = 0}\) to po prostu bierzemy sobie pod uwagę tylko z. Zastanawiało mnie to, co się dzieje z tym wzorem \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) jak punkt jest inny niż \(\displaystyle{ (0,0,4)}\), ale jest jeszcze przecież współczynnik D i tam x i y nic już nie zmienia. W każdym razie rozumiem to już.