Kąt między płaszczyznami.

[mooniika]

Dzień dobry.
Mam za zadanie obliczyć kąt między płaszczyznami. Korzystając ze wzoru na cosinus kąta wyszło mi 2.
Oto moje płaszczyzny:
\(\displaystyle{ H_{1} : z - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ H_{2} : \sqrt{3}y + z + 5 = 0}\)
Ta pierwsza wygląda jak zbiór punktów na osi z i z rysunku wynika, że leży ona w płaszczyźnie tej drugiej płaszczyzny...
Co teraz?

[kerajs]

Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

Wektory normalne tych płaszczyzn to:\(\displaystyle{ \left[ 0,0,1\right] i\left[ 0, \sqrt{3},1 \right]}\)
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich normalnymi. Łatwo to wyliczyć z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \vec{n _{1} } \circ \vec{n _{2} }= \left| \vec{n _{1} }\right| \cdot \left| \vec{n _{2} }\right| \cdot \cos \alpha =x _{1} x _{2} +y _{1} y _{2} +z _{1} z _{2}}\)
U Ciebie:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} \sqrt{4}\cos \alpha =0 \cdot 0+0 \cdot \sqrt{3}+1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} \vee \alpha =- \frac{ \pi }{3}}\)

[mooniika]

Dziękuję bardzo Ja skorzystałam z wzoru \(\displaystyle{ \frac{|AA + BB + CC|}{ \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} }}\). Chyba jest nieprawidłowy w takim razie.

EDIT: Aaaa źle podstawiałam Ten wzór działa, wychodzi 1/2.
Pozdrawiam

[henryk pawlowski]

Drobna poprawka: ten iloczyn to nie wektorowy tylko skalarny!

[kerajs]

henryk pawlowski oczywiście ma rację. Dzięki za czujność.


Twój wzór to ten sam co ja zastosowałem. Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej
\(\displaystyle{ \cos \left\{ \angle \left( \pi _{1}, \pi _{2}\right)\right\}= \frac{A _{1} A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}}{ \sqrt{A_{1} ^{2} + B_{1} ^{2}+ C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2} ^{2} + B_{2} ^{2}+ C_{2}^{2}} }}\).

[norwimaj]

Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej

Kąt pomiędzy ustalonymi wektorami normalnymi może być rozwarty, ale przez kąt pomiędzy płaszczyznami rozumiemy kąt ostry (lub prosty).

[kerajs]

Komentarz norwimaj nie podważa uzytego cytatu. We wzorze nie ma wrtości bezwględnej.

[norwimaj]

Jeśli to ma być wzór na kosinus kąta pomiędzy płaszczyznami, to powinna być wartość bezwzględna. Przecież wynik nie powinien zależeć od tego, jaki zwrot wektora normalnego wybrałeś.

[mooniika]

Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

Hmm... Jakoś nie umiem sobie tego wyobrazić... Jak sie to narysuje to widac, ze x i y też rosną, że są jakieś x i y, które nie są równe 0. Chyba, że czegoś nie rozumiem?

[a4karo]

A plaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\) umiesz sobie wyobrazić? To teraz ją przesun w górę, tak, żeby przechodziła przez \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

[mooniika]

Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty. I zastanawia mnie wlasnie to, ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\)). Czyli punkt \(\displaystyle{ (1,2,4)}\) tez i tak dalej... No i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?

[a4karo]

Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty.

Możesz wyjaśnić, co po polsku znaczy to zdanie?

ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\))

na jakiej płaszczyźnie? Nie każdy punkt W PRZESTRZENI spełnia to równanie (np. \(\displaystyle{ (7,1,1)}\)).

No i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?

A co ma być z tym wzorem? Jest, i już. Punkty, które leżą w płaszczyznie opisanej tym wzorem spełniają równanie

[mooniika]

Chodziło mi w zasadzie o to, że jak mamy płaszczyzne \(\displaystyle{ z - 4 = 0}\) to po prostu bierzemy sobie pod uwagę tylko z. Zastanawiało mnie to, co się dzieje z tym wzorem \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) jak punkt jest inny niż \(\displaystyle{ (0,0,4)}\), ale jest jeszcze przecież współczynnik D i tam x i y nic już nie zmienia. W każdym razie rozumiem to już.