Zapis parametryczny i krawedziowy prostej l

[djboleeek]

Witam, mam bardzo głupi problem, przez ktory nie moge pojsc dalej z zadaniami. Chodzi mi o przejscie z równania parametrycznego prostej do zapisu krawędziowego. Nie wiem jak sie za to zabrac. Nauczyciel wspominał coś o wyznaczaniu t i podstawieniu go do kolejnego równania, ale nie mam pojecia z czego to wynika. Prosze o jakas pomoc

[squared]

Równanie parametryczne ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_0+\alpha t \\ y=y_0+\beta t \\ z=z_0+\gamma t \\ t \in \RR \end{cases}}\)

Zaś krawędziowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ (2)}\)

Oczywiście znamy: \(\displaystyle{ x_0,y_0,z_0,\alpha,\beta,\gamma}\). Może najlepiej na przykładzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4+ 2t \\ y=3+3t \\ z=7+5t \\ t \in \RR \end{cases}}\)

Nauczyciel wspominał coś o wyznaczaniu t i podstawieniu go do kolejnego równania

No to robimy to, np. z pierwszego równania wyznaczmy \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{x-4}{2}}\)
I teraz wystarczy tylko to co powyżej wyznaczyliśmy wstawić do dwóch pozostałych równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3+3 \cdot \blue\frac{x-4}{2} \\ z=7+5 \cdot \blue\frac{x-4}{2} \end{cases}}\)

Teraz to tylko należy uporządkować do postaci (2):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y=6+3x-4\\2z=14 +5x-20 \end{cases} \\
\begin{cases} -3x+ 2y -2=0 \\-5x + 2z +6=0 \end{cases}}\)

I tyle to koniec tego przekształcania. Może oczywiście \(\displaystyle{ t}\) wyznaczyć z \(\displaystyle{ y}\) i wstawić do \(\displaystyle{ x\ \ \text{oraz} \ \ z}\) i jeszcze jedna możliwość jest.

[djboleeek]

O właśnie o to mi chodziło, dzięki wielkie ! Jeszcze tylko prosiłbym tak poza sposobem liczenia o (w miare mozliwosci) interpretacje takiego działania, bo z matmy, to ja cienki bolek jestem, ale mimo wszystko lubie wszystko miec poukladane. Czy mozna powiedziec, ze z układu równań parametrycznych wyznaczamy zależność miedzy wspolrzednymi np x i y, a potem, przechodząc do postaci, gdzie po lewej stronie mamy x i y, a po prawej 0, otrzymujemy równanie płaszczyzny ? No i tak mi sie wydaje, ze w ten sposob mozemy otrzymac tylko takie płaszczyzny, gdzie (np dla x i y) z jest stałą. A co jesli chcielibysmy wyznaczyc plaszczyzne, która jest nachylona do każdej osi pod kątem różnym od n(pi/2) ?

[squared]

Czy mozna powiedziec, ze z układu równań parametrycznych wyznaczamy zależność miedzy wspolrzednymi np x i y, a potem, przechodząc do postaci, gdzie po lewej stronie mamy x i y, a po prawej 0, otrzymujemy równanie płaszczyzny ?

Zawsze z jednego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ t}\) i wstawiamy do pozostałych dwóch równań to \(\displaystyle{ t}\). I interesują Nas te dwa pozostałe równania i upraszczamy je do takiej postaci jak podałem - wszystko na jedną stronę przerzucamy. Jak widać takich możliwości rozwiązania zadania są \(\displaystyle{ 3}\), do tego na sam koniec możesz pomnożyć każde z tych dwóch równań o dowolną stałą różną od zera. Co nie powinno dziwić, bo jak sobie wyobrazisz prostą w przestrzeni to ona jest częscią wspólną dwóch płaszczyzn, ale mogą być one różne, jak sobie to w głowie wyobrazisz to zauważysz wszystko).

A co jesli chcielibysmy wyznaczyc plaszczyzne, która jest nachylona do każdej osi pod kątem różnym od n(pi/2) ?

Masz na myśli wyznaczyć płaszczyznę nachyloną do każdej osi pod kątem różnym od \(\displaystyle{ \frac{n \pi}{2}}\)? Czy taką płaszczyznę w tym zadaniu?

Na wyznaczanie tych dwóch płaszczyzn możesz spojrzeć inaczej. Częśc wspólna tych dwóch płaszczyzn ma być prostą. Więc prosta jest zawarta w obu płaszczyznach, co za tym idzie w każdej płaszczyźnie zawarty jest wektor kierunkowy tej prostej. Z niego można wyznaczyć dwa punkty. Te dwa punkty należą do obu płaszczyzn. Płaszczyznę jednoznacznie wyznaczają 3 punkty nie leżące na jednej prostej, więc wystarczy do każdej płaszczyzny po jednym punkcie nie leżącym na danej prostej. No i w tej sposób mamy określone dwie płaszczyzny, których częścią wspólną jest dana prosta.

[djboleeek]

Dzieki za pomoc ! Ostatnie pytanie brzmi ( ) - czy mozna powiedziec, ze wyznaczajac jedną z płaszczyzn, w której zawieraja sie na przyklad wspolrzedne x i y, robimy tak, ze odrzucamy warunek na z (jest on dowolny), a następnie wyznaczamy warunek np na x i z, przy czym odrzucamy warunek na y ?

[squared]

Nie zrozumiałem, co masz na myśli.

Zauważ, że jak \(\displaystyle{ t}\) wyznaczyliśmy z \(\displaystyle{ x}\) to otrzymaliśmy taką odpowiedź:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x+ 2y -2=0 \\-5x + 2z +6=0 \end{cases}}\)

W obu równaniach mamy \(\displaystyle{ x}\), i w jednym \(\displaystyle{ y}\), w drugim \(\displaystyle{ z}\). Analogicznie by wyszło np. jak z \(\displaystyle{ y}\), byś wyznaczył \(\displaystyle{ t}\), wtedy w obu równaniach jest \(\displaystyle{ y}\). Nie wiem, na ile to co napisałem miało związek z Twoim pytaniem.

W ogóle odniosłem wrażenie, że banalny problem zamiany zapisu prostej w przestrzeni zamieniłeś na jakiś skomplikowany problem matematyczny,

[djboleeek]

Ja wiem, że problem jest błachy, a ja go tylko komplikuje. Wiem też jak przejść z równania parametrycznego na krawędziowe(W sensie jak wyznaczyć jeden układ równań z drugiego). Ale problem tkwi w tym, że nie wiem dlaczego tak się to robi. A mi na samym policzeniu czegoś nie zależy