Pole pod wykresem funkcji

[Calasilyar]

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x, \mbox{gdy: }\; 0\leqslant x \leqslant 2\\2x-2,\mbox{gdy: } x>2\end{cases}}\)
Funkcja P opisuje pole figury ograniczonej wykresem funkcji f, osią OX i prostą prostopadłą do osi OX, w punkcie \(\displaystyle{ A(x,0)}\), gdy \(\displaystyle{ x\geqslant 0}\). Wyznacz pochodną funkcji P.


Próbowałem rozwiązac to zadanie za pomocą całek, i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ dla \;0\leqslant x \leqslant 2\\
P(x)=\frac{1}{2}x^{2}
dla\; x>2\\
P(x)=\int\limits_{0}^{2}xdx+\int\limits_{x-2}^{x}(2x-2)dx=[\frac{1}{2}x^{2}]^{2}_{0}+[x^{2}-2x]^{x}_{x-2}=4x-6}\)
niestety wynik wychodzi zły, mógłby ktoś powiedziec mi, gdzie popełniam błąd?


Prosiłbym również o rozwiązanie "normalną" metodą, bo tu tez nie otrzymywałem wyniku zgodnego z odpowiedziami.

Odp.:
\(\displaystyle{ P(x)=\begin{cases} 0,5x^2, \mbox{gdy: }\; 0\leqslant x \leqslant 2\\x^2-2x+2,\mbox{gdy: } x>2\end{cases}}\)
(podaję funkcję, bo pochodna to już nie problem )

[wb]

W funkcji P(x) dla x>2 dolna granica całkowania nie powinna wynosić 2?

[Calasilyar]

jejku, ale przypał dzięki a "normalną" motodą już wyszło.

[wb]

"Normalną" metoda dla x>2 wychodzi:
\(\displaystyle{ 2+x(x-2)=x^2-2x+2}\)

[Calasilyar]

heh, normalną wychodzi to samo, w końcu powinno