Krzywa stożkowa w różnych układach współrzędnych

[jaranna]

Narysuj krzywą stożkową zadaną we współrzędnych biegunowych i podaj opisujący ją wzór we współrzędnych kartezjańskich:

a) \(\displaystyle{ r= \frac{2}{1- \frac{1}{2} \cos \phi }}\)


Proszę o pomoc, bo nie wiem kompletnie jak się za to zabrać...

[kerajs]

Narysuj krzywą stożkową zadaną we współrzędnych biegunowych.......

wersja 1
Zrobiłbym tabelkę i wstawiając łatwe wartości kąta wyliczałbym warosci promienia . Potem w układzie \(\displaystyle{ \ \phi0r}\) wykres
\(\displaystyle{ r\left( \phi\right) = \frac{2}{1- \frac{1}{2} \cos \phi };\phi \in \left\langle 0;2 \pi \right\rangle}\)
powstałby przez połączenie łagodnymi łukami obliczonych punktów (jest on kosinusopodobny ).

wersja 2
Użyłbym programu graficznego.

...... i podaj opisujący ją wzór we współrzędnych kartezjańskich

Może tak?
\(\displaystyle{ r= \frac{2}{1- \frac{1}{2} \cos \phi }}\)
\(\displaystyle{ r\left(1- \frac{1}{2} \cos \phi \right) = 2}\)
\(\displaystyle{ r- \frac{1}{2}r \cos \phi = 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{r ^{2} } - \frac{1}{2}r \cos \phi = 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{r ^{2}\left(\sin ^{2} \phi+ \cos ^{2} \phi\right) } - \frac{1}{2}r \cos \phi = 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(r \sin \phi\right) ^{2} +\left(r \cos \phi\right) ^{2} } - \frac{1}{2}r \cos \phi = 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}+ x^{2} } - \frac{1}{2}x= 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}+ x^{2} } = \frac{1}{2}x+ 2}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+ x^{2} = \left(\frac{1}{2}x+ 2 \right) ^{2};x \ge -4}\)
A to jest elipsa (sama doprowadź ją do postaci ogólnej) która jest krzywą stożkową. Z jej wykresem (bo też tak można interpretować treść ,,Narysuj krzywą stożkową zadaną we współrzędnych biegunowych (..)' ) nie powinnaś mieć problemu.

[jaranna]

Wyszło mi: \(\displaystyle{ 1= \left( \frac{3x-4}{8} \right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3}y }{4} \right) ^{2}}\)
Czemu wolfram pokazuje że jest to parabola? ->

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3D%28%283x-4%29%2F8%29%5E2%2B%28%E2%88%9A3y%2F4%29%5E2

[kerajs]

Bo wpisując w wolframalpha to równanie błędnie wciągnęłaś (lub edytor tak to widzi) zmienną y pod pierwiastek.
Zobacz :

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1

... 2F4%29%5E2