wykaż, że: wartość cosinusa przecięcia się wykresów funkcji

[Fritillaria]

Wykaż, że cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{4}{3} x+ 1}\) i \(\displaystyle{ g(x) = −x \sqrt{2} + 9}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{6}-3 \sqrt{3} }{15}}\).

W jaki sposób to rozwiązać?

[Ania221]

Oblicz \(\displaystyle{ \tg}\) kąta między prostymi, i z zależności trygonometrycznych wylicz \(\displaystyle{ \cos}\)

[squared]

\(\displaystyle{ \cos}\) można wyliczyć szybko w miarę z iloczynu skalarnego wektorów między tymi prostymi.

\(\displaystyle{ y = \frac{4}{3} x + 1 \\
3 y - 4x - 3 = 0 \\
n_{f}=[-4;3] \\ \\
y=x\sqrt{2}+9 \\
y-\sqrt{2}x-9=0 \\
n_{g}=[-\sqrt{2};1]}\)

\(\displaystyle{ n_{f} \circ n_{g} = |n_{f}| \cdot |n_{g}| \cos \alpha \\
\cos \alpha = \frac{n_{f} \circ n_{g}}{|n_{f}| \cdot |n_{g}| } = \frac{(-4)\cdot (-\sqrt{2}) + 3 \cdot 1}{\sqrt{16+9} \sqrt{2+1}} = \frac{4\sqrt{2} + 3}{5\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}{15}}\)

No i wyszło, ale albo ja się pomyliłem w znaku, ale w odpowiedzi powinien być inny znak.

[Fritillaria]

Dziękuję bardzo za pomoc