Okrąg styczny do dwóch prostych.

[Mathix]

Zadanie.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych oraz stycznego do prostych \(\displaystyle{ 2x+y-1=0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x-y+2=0}\).

Ktoś już umieścił to zadanie na forum, ale trafiło do kosza. W każdym razie nie mam na nie pomysłu. Policzyłem punkt przecięcia się tych prostych i próbowałem coś liczyć z odległości punktu od prostej, ale nic mi sensownego nie wyszło. Może ma ktoś pomysł jak to rozwiązać?

[piasek101]

Środek leży na pionowej idącej przez punkt przecięcia danych prostych.

[Ania221]

Środek okręgu będzie leżał na dwusiecznej kąta ostrego utworzonego przez te proste.
Czyli \(\displaystyle{ S(- \frac{1}{4},b)}\)
Odległość środka \(\displaystyle{ S}\) od punkt \(\displaystyle{ O(0,0)}\) jest równa odległości środka \(\displaystyle{ S}\) od każdej z prostych.
Stąd drugie równanie.
No i punkt \(\displaystyle{ O(0,0)}\) spełni równanie okręgu.

[Mathix]

Jeśli chodzi o to, że \(\displaystyle{ x_s=-\frac{1}{4}}\) to liczymy z tego(?):
\(\displaystyle{ \begin{cases}r=\frac{|2x_s+y_s-1|}{\sqrt{5}} \\ r=\frac{|2x_s-y_s+2|}{\sqrt{5}}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |2x_s+y_s-1|=|2x_s-y_2+2|}\)
Jak się to rozpisze to wychodzi:
\(\displaystyle{ (4x_s+1)(-2y_s+3)=0}\)
I teraz muszę wybrać prostą \(\displaystyle{ x_s=-\frac{1}{4}}\), albo \(\displaystyle{ y_s=\frac{3}{2}}\) , która będzie pasowała, żeby okrąg mógł przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ O(0, 0)}\) , tak?

[piasek101]

X środka masz (w zasadzie) dany - patrz współczynniki kierunkowe prostych - nie musisz go wyliczać.

[Ania221]

Tak, ale jak wyżej napisałam, środek leży na dwusiecznej, a pasująca dwusieczna jest pionowa, więc \(\displaystyle{ x_s}\) już masz.