Wyznacz obraz trójkąta ABC w symetrii względem prostej.

[djlolek]

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(0,0) B=(5,0) C=(-3,6). Wyznacz obraz trójkąta ABC w symetrii względem prostej o równaniu y=-2x.

[Jopekk]

Prostą możemy zapisać jako\(\displaystyle{ 2x+y=0}\). Jej \(\displaystyle{ \vec{v}}\) kierunkowy ma postać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]}\).
I tak \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]}\).

Podstawiamy do równania prostej czyli \(\displaystyle{ 2(0+2t)+1(0+1t)=0}\) czyli \(\displaystyle{ t=0}\).
Punkt A leży na prostej.

Analogicznie z punktem B otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2(5+2t)+1(0+1t)=0}\) czyli \(\displaystyle{ 10+5t=0}\) czyli \(\displaystyle{ t=-2}\)

Zatem wektor prostopadły do prostej z początkiem B i punktem N na prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ (5+2t;0+t)=(5-4;0)=(1;0)}\).

\(\displaystyle{ \vec{BN}=(1;0)}\) \(\displaystyle{ N=(6,0)}\),ponieważ \(\displaystyle{ (N-B=(1;0)}\) Zatem widzimy, że B(5;0), N(6;0) Zatem B' przechodzi przez N pod kątem prostym i jest tak samo oddalone od N jak B czyli B'(7;0).

Analogicznie jak z B postępujemy z punktem C.