Najmniejsza odległość punktu od paraboli.

[Acros]

Cześć, mam straszny problem z wymyśleniem metody jak znaleźć najmniejszą odległość punktu o danych współrzędnych od parabolii.
Wiem , że Pitagoras zawsze pomoże ,\(\displaystyle{ (x,ax^2+bx+c) ( m,n)}\) i mozna policzyć , ale jak mam wielomian 4 stopnia to potem pochodna jest 3 stopnia , więc przyrównanie do 0 nie jest zbyt dobrą opcją.

Byłbym bardzo wdzięczny za przedstawienie metody , jeśli znacie metodę na taką najmniejszą odległośc punktu od innych funkcji , np. wielomianowych 3 stopnia , sinusów , wykladniczej itd to też chętnie bym obejrzał.

[Peter Zof]

Liczysz pochodną i znajdujesz jej punkty krytyczne. Poszukiwany punkt to ten dla którego wartość funkcji którą różniczkowałeś będzie najmniejsza.

@edit:

Czemu przyrównywanie do zera nie jest "zbyt" dobrą opcją? Jeżeli pochodna jest trzeciego stopnia, oznacza to że ma co najwyżej trzy miejsca zerowe, a więc masz co najwyżej trzy punkty krytyczne.

[Acros]

No weźmy parabolę \(\displaystyle{ y=x ^{2} +7x+1}\) i punkt \(\displaystyle{ A=(0,0)}\)
Z Pitagorasa \(\displaystyle{ d ^{2} =x ^{2}+ (x ^{2} +7x+1)^2= x ^{4}+14x ^{3} +52x ^{2}+ 7x+1}\)
pochodna będzie \(\displaystyle{ 4x ^{3}+42x ^{2}+104x+7=0}\)
To jest takie łatwe do rozwiązania ?

[Ser Cubus]

... ierwiastek

albo ew. metody numeryczne

[Dilectus]

Odległość punktu od dowolnej krzywej jest to długość odcinka prostopadłego do wykresu funkcji przechodzącego przez ten punkt.
Pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w p-kcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Nas interesuje odcinek prostopadły do tej stycznej. Wiadomo, że tangens tej prostopadłej jest równy minus cotangensowi stycznej. Podsumujmy więc:

\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ y'=2ax+b}\)
Tangens prostej prostopadłej do stycznej jest więc równy \(\displaystyle{ -\frac{1}{2a}}\)
Prosta ta ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ A\left( x _{A}, y _{A} \right)}\)

Trzeba więc napisać równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ -\frac{1}{2a}}\) i wyrazie wolnym \(\displaystyle{ b_{1}}\) spełniającym równanie

\(\displaystyle{ y _{A}=- \frac{1}{2a} \cdot x _{A} + b _{1}}\)

skąd

\(\displaystyle{ b _{1}=y _{A}+ \frac{1}{2a} \cdot x _{A}}\)

Twoja prosta prostopadła do paraboli \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A\left( x _{A}, y _{A} \right)}\) ma równanie:

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2a}x +y _{A}+ \frac{1}{2a} \cdot x _{A}}\)

czyli

\(\displaystyle{ y-y _{A}= -\frac{1}{2a} \left( x- x _{A} \right)}\)

Znajdż jej punkt przecięcia z parabolą ( oznaczmy go jako \(\displaystyle{ B\left( x _{B}, y _{B} \right)}\)), rozwiązując układ równań


\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y-y _{A}= -\frac{1}{2a} \left( x- x _{A}\right) \end{cases}}\)

i oblicz odległość np. z tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ d= \sqrt{\left( x _{B}-x _{A}\right)^2 + \left( y _{B}-y _{A}\right)^2 }}\)

[BBCode]

@Dilectus, dlaczego współczynnikiem kierunkowym stycznej do paraboli jest 2x? Przecież a=f'(x), a tutaj pochodna to 2x+b

[szachimat]

No weźmy parabolę \(\displaystyle{ y=x ^{2} +7x+1}\) i punkt \(\displaystyle{ A=(0,0)}\)
Z Pitagorasa \(\displaystyle{ d ^{2} =x ^{2}+ (x ^{2} +7x+1)^2= x ^{4}+14x ^{3} +52x ^{2}+ 7x+1}\)
pochodna będzie \(\displaystyle{ 4x ^{3}+42x ^{2}+104x+7=0}\)
To jest takie łatwe do rozwiązania ?

Czasem udaje się otrzymać rozwiązanie stosując schemat, który podałem tutaj: viewtopic.php?f=102&t=382458