Prosta k przecina boki pq i ps równoległoboku pqrs odpowiednio w punktach t oraz u. Niech w będzie punktem przecięcia prostej k z przekątną pr. Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1+s(q,p;t)+s(s,p;u)=s(r,p;w)}\)
z góry dziękuje za pomoc.
tw. Menelaosa (dowód równania)
-
kamil33221
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 30 paź 2011, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bialystok
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
-
porfirion
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 26 razy
tw. Menelaosa (dowód równania)
Bardzo ładne zadanie. Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ k}\) do przecięcia \(\displaystyle{ QR}\) w \(\displaystyle{ A}\) i z \(\displaystyle{ RS}\) w \(\displaystyle{ B}\) teraz widzimy, że \(\displaystyle{ s(q,p;t)= \frac{P(AQT)}{P(PTU)} s(p,q;t)}\)
Analogicznie: \(\displaystyle{ s(s,p;u)= \frac{P(BSU)}{P(PTU)} s(p,s;u)}\). Do tego \(\displaystyle{ s(r,p;w)= \frac{P(TUR)}{P(PTU)}}\) i oczywiste \(\displaystyle{ 1= \frac{P(PTU)}{P(PTU)}}\). Podstawiamy to do równości którą chcemy pokazać i mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ P(PTU)}\). Otrzymujemy wówczas równoważnie oczywistą równość pól: \(\displaystyle{ P(PTU)+P(TUS)+P(TQU)=P(TRU)}\) co na mocy równoległości odpowiednich boków jest prawdą.
Analogicznie: \(\displaystyle{ s(s,p;u)= \frac{P(BSU)}{P(PTU)} s(p,s;u)}\). Do tego \(\displaystyle{ s(r,p;w)= \frac{P(TUR)}{P(PTU)}}\) i oczywiste \(\displaystyle{ 1= \frac{P(PTU)}{P(PTU)}}\). Podstawiamy to do równości którą chcemy pokazać i mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ P(PTU)}\). Otrzymujemy wówczas równoważnie oczywistą równość pól: \(\displaystyle{ P(PTU)+P(TUS)+P(TQU)=P(TRU)}\) co na mocy równoległości odpowiednich boków jest prawdą.