Mam kilka zadań, właściwie bez odpowiedzi, ale chcę głównie zapytać, czy metody, jakimi się posługuje są poprawne, zamieszczanie obliczeń w większości sobie daruję.
1. Sprawdzić, czy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny i obliczyć jego kąty, jeżeli:
\(\displaystyle{ A=(0,0,0), B=(3,0,3), C=(3,3,0)}\).
Tutaj chyba wystarczy posłużyć się wzorem: \(\displaystyle{ cos\alpha =\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\).
Przy czym, nasze szukane kąty są wyznaczone odpowiednio przez pary wektorów: \(\displaystyle{ \vec{AC},\vec{AB}; \vec{BA},\vec{BC}; \vec{CA},\vec{CB}}\).
Ponadto, w jednym przypadku tutaj iloczyn skalarny z licznika jest równy zeru, przy czym wektory tam mnożone są różne od zera, a to oznacza, że kąt pomiędzy owymi wektorami jest prosty. Czy tak?
2. Obliczyć pole równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(0,0,0), C=(1,4,1), D=(5,5,2)}\).
Pole będzie równe długości wektora, który jest iloczynem wektorowym wektorów, na których rozpięty jest dany równoległobok. Zauważam (po narysowaniu na trójwymiarowym wykresie - czy istnieje jakaś inna metoda?), że równoległobok ten jest rozpięty na wektorach \(\displaystyle{ \vec{CA},\vec{CD}}\) i tych wektorów używam do obliczenia pola...aczkolwiek, czy wtedy nie będzie to czasem równoległobok \(\displaystyle{ ACDB}\)? Czy tutaj może nie ma znaczenia kolejność punktów?
3. Sprawdzić czy punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) (współrzędne pomijam) są współpłaszczyznowe.
Tutaj chyba mogę wyznaczyć trzy wektory rozpięte na tych czterech punktach i obliczyć ich iloczyn mieszany, jeśli będzie równy zeru, znaczy to, że te punkty są współpłaszczyznowe, w przeciwnym wypadku nie. Czy dobór punktów przy wyznaczaniu wektorów ma jakieś znaczenie? Przypuszczam, że dwa wektory będą wychodzić z tego samego punktu, a dodatkowo mamy jeden wektor wyznaczony przez któryś z punktów końcowych poprzednich wektorów i "niewykorzystanego" jeszcze punktu.
4. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C,D}\).
Objętość ta będzie równa szóstej części modułu z iloczynu mieszanego wektorów rozpinających czworościan. Tutaj, jeśli się nie mylę, szukam trzech wektorów o różnych końcach, ale dokładnie tym samym początku, czy tak?
Z góry dziękuję za wszelką pomoc