Wyznaczanie i wykazywanie liczb

[nieznany12345]

1.Wyznacz liczbę m, tak aby proste o równaniach: \(\displaystyle{ y=( m^{3}-3)x-2}\) i \(\displaystyle{ y=(m+3)x+1}\) były równoległe.

2.Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\).

3.Wykaż, że prosta k przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A=(1,-5), B=(-1,3)}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{4}x+2}\).

4.Dana jest prosta l o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-2}\) i punkt \(\displaystyle{ A=(4,-4)}\). Wyznacz współrzędne punktu B symetrycznego do punktu A względem prostej l.

5.Dane są dwa wierzchołki trójkąta \(\displaystyle{ A=(-5,-1), B=(0,-3)}\). Pole tego trójkąta jest równe \(\displaystyle{ 12}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=2x+3}\).Wyznacz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).

[Zahion]

W czym problem ?
Add. 1 Kiedy dwie proste są równoległe ?

[nieznany12345]

Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań ponieważ totalnie nie rozumiem od czego tutaj zacząć.

[Zahion]

Wystarczy w pierwszym zadaniu zacząć od wygooglowania kiedy dwie proste są równoległe. Zrób to, napisz ten warunek i zastanów się czy dalej nie rozumiesz.

[nieznany12345]

Niby współczynniki kierunkowe mają się zgadzać ale dalej nie wiem od czego tutaj zacząć. Proszę napisać konkretną odpowiedź bądź bardziej mnie nakierować.

[matematyk1995]

3) Znajdź prostą przechodzącą przez pkt \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i skorzystaj z tego, że proste są prostopadłe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) iloczyn ich współczynników kierunkowych \(\displaystyle{ = -1}\)
4) Wyznacz prostą prostopadłą do l przechodzącą przez pkt \(\displaystyle{ A}\), miejsce przecięcia tych prostych oznaczmy B wtedy musi zajść warunek: \(\displaystyle{ \vec{AC}=\vec{CA'}}\) gdzie \(\displaystyle{ A'}\) to obraz punktu \(\displaystyle{ A}\).
5) Skorzystaj ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left| det\left( \vec{AB}, \vec{AC}\right) \right|}\)

[Zahion]

Oki, więc współczynniki kierunkowe mają być równe. Zapisując prostą w postaci \(\displaystyle{ y =ax + b}\) współczynnikiem kierunkowym nazywamy liczbę \(\displaystyle{ a}\) .W Twoim wypadku są to liczby \(\displaystyle{ m ^{3}-3}\) oraz \(\displaystyle{ m+3}\). Skoro mają one być równe to musi zachodzić równość
\(\displaystyle{ m ^{3}-3 = m+3}\) Teraz pytanie, czy potrafisz rozwiązać taką równość ?

[nieznany12345]

No właśnie takiej równości to nie bardzo.

[Zahion]

Równości. Mamy więc równość \(\displaystyle{ m ^{3}-3=m+3}\). Przerzucamy wszystko na jedną stronę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ m ^{3}-m-6 =0}\). Niech \(\displaystyle{ W(m) = m ^{3}-m-6}\). Szukamy teraz pierwiastków wymiernych wielomianu \(\displaystyle{ W}\). Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych ( wygoogluj sobie to) otrzymujemy, że jeśli nasz wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma pierwiastek wymierny, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli liczby \(\displaystyle{ -6}\). Oczywiście sprawdzając dzielniki tej liczby, dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ W(2) = 0}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\). Teraz z twierdzenia Bezouta ( wygoogluj sobie też) otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ m-2}\)(Naucz się dzielić wielomiany). Po podzieleniu otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ W(m) = (m-2)(m ^{2}+2m+3)}\) Wielomian \(\displaystyle{ Q(m) = m ^{2}+2m+3}\) nie ma pierwiastków ( dlaczego ?). Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ W(m) = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow m=2}\)
Ps. Add2.
Napisz równanie ogólne okręgu o współrzędnych środka okręgu \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).

[matematyk1995]

W zadaniu drugim nie powinno być: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\) zamiast \(\displaystyle{ x^{3}+ y^{3} +10x-12y+52=0}\) ???

[nieznany12345]

Racja błąd. Powinno być tak jak piszesz czyli: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\)

[matematyk1995]

W \(\displaystyle{ 2)}\) poszukaj wzorów skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ x^2+10x=(x+5)^2 -25}\)
\(\displaystyle{ y^2-12y=...}\) Zrób to samo.