Na elipsie \(\displaystyle{ x ^{2}+4y ^{2}= 4}\) znaleźć taki punkt , którego współrzędne są ujemne i którego odległość od punktu \(\displaystyle{ q = (0,1)}\) jest największa.
Proszę o jakąś podpowiedź w sprawie tego zadania, wzór na elipsę mam już przekształcony, wiem, że ten punkt musi się znajdować w trzeciej ćwiartce i podejrzewam, że tutaj będzie coś z funkcji kwadratowej.
Będę wdzięczny
szukanie punktu
-
duze_jablko2
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 1 raz
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
szukanie punktu
Po przekształceniu równania elipsy, otrzymamy, że punkt tej elipsy leżący w trzeciej ćwiartce ma postać
\(\displaystyle{ \left(-\sqrt{4-4y^2},y\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ x<0,\ y<0}\)
Odległość od punktu \(\displaystyle{ (0,1)}\) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(\sqrt{4-4y^2})^2+y^2}}\)
No i musisz znaleźć jej maksimum.
Podpowiedź: Maksimum pierwiastka będzie tam gdzie maksimum tego co pod pierwiastkiem.
\(\displaystyle{ \left(-\sqrt{4-4y^2},y\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ x<0,\ y<0}\)
Odległość od punktu \(\displaystyle{ (0,1)}\) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(\sqrt{4-4y^2})^2+y^2}}\)
No i musisz znaleźć jej maksimum.
Podpowiedź: Maksimum pierwiastka będzie tam gdzie maksimum tego co pod pierwiastkiem.
-
Marmat
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
szukanie punktu
Wyznaczasz odległość punktu (x,y) elipsy od punktu (0,1):
\(\displaystyle{ d= \sqrt{x^2+(y-1)^2 }}\)
Ponieważ jest to liczba nieujemna, więc zamiast badać odległość zbadajmy jej kwadrat.
Funkcja kwadrat dla argumentów nieujemnych jest rosnąca (ta liczba, która jest większa ma większy kwadrat).
\(\displaystyle{ d^2=x^2+\left( y-1\right)^2}\)
Z równania elipsy: \(\displaystyle{ x^2=4-4y^2}\)
\(\displaystyle{ d^2=f(y)=4-4y^2+y^2-2y+1=-3y^2-2y+5}\)
Jest to funkcja kwadratowa i osiąga maksimum w wierzchołku \(\displaystyle{ W=(y_w, f(y_w))}\), więc:
\(\displaystyle{ y_w=- \frac{b}{2a}= \frac{2}{-6}=- \frac{1}{3}}\)
Z równania: \(\displaystyle{ x^2=4-4y^2}\) obliczam x :
\(\displaystyle{ x^2=4-4* \frac{1}{9}= \frac{32}{9}}\)
\(\displaystyle{ x_1=- \frac{4 \sqrt{2} }{3} \\ x_2=\frac{4 \sqrt{2} }{3}}\)
Otrzymujesz więc punkty: \(\displaystyle{ \left( - \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right) , \left( \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right)}\)
Lecz tylko pierwszy z punktów spełnia warunki zadania (III ćwiartka).
Ostatecznie szukanym punktem jest punkt: \(\displaystyle{ \left( - \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right)}\)
Aby otrzymać kwadrat odległości podstawiamy do funkcji f:
\(\displaystyle{ d^2=-3* \frac{1}{9}+ \frac{2}{3} +5= \frac{16}{3} \\
d= \sqrt{ \frac{16}{3} } = \frac{4}{ \sqrt{3} }= \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ d= \sqrt{x^2+(y-1)^2 }}\)
Ponieważ jest to liczba nieujemna, więc zamiast badać odległość zbadajmy jej kwadrat.
Funkcja kwadrat dla argumentów nieujemnych jest rosnąca (ta liczba, która jest większa ma większy kwadrat).
\(\displaystyle{ d^2=x^2+\left( y-1\right)^2}\)
Z równania elipsy: \(\displaystyle{ x^2=4-4y^2}\)
\(\displaystyle{ d^2=f(y)=4-4y^2+y^2-2y+1=-3y^2-2y+5}\)
Jest to funkcja kwadratowa i osiąga maksimum w wierzchołku \(\displaystyle{ W=(y_w, f(y_w))}\), więc:
\(\displaystyle{ y_w=- \frac{b}{2a}= \frac{2}{-6}=- \frac{1}{3}}\)
Z równania: \(\displaystyle{ x^2=4-4y^2}\) obliczam x :
\(\displaystyle{ x^2=4-4* \frac{1}{9}= \frac{32}{9}}\)
\(\displaystyle{ x_1=- \frac{4 \sqrt{2} }{3} \\ x_2=\frac{4 \sqrt{2} }{3}}\)
Otrzymujesz więc punkty: \(\displaystyle{ \left( - \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right) , \left( \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right)}\)
Lecz tylko pierwszy z punktów spełnia warunki zadania (III ćwiartka).
Ostatecznie szukanym punktem jest punkt: \(\displaystyle{ \left( - \frac{4 \sqrt{2} }{3},- \frac{1}{3} \right)}\)
Aby otrzymać kwadrat odległości podstawiamy do funkcji f:
\(\displaystyle{ d^2=-3* \frac{1}{9}+ \frac{2}{3} +5= \frac{16}{3} \\
d= \sqrt{ \frac{16}{3} } = \frac{4}{ \sqrt{3} }= \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)
Pozdrawiam.