Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem.
Znaleźć rzut prostej l1: \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac {z}{1}}\)
na płaszczyznę poprowadzoną przez prostą l:\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+z-8=0\\x+4y-2z+3=0\end{cases}}\) równolegle do prostej l1.
znaleźć rzut prostej
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
znaleźć rzut prostej
Zadanie można rozbić na poszczególne kroki:
1. Znajdujemy równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować.
2. Na prostej \(\displaystyle{ l_1}\) wybieramy dwa dowolne punkty.
3. Rzutujemy te punkty na znalezioną płaszczyznę.
4. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez te punkty.
Chyba największy problem może być z krokiem 1.
Do obliczeń wygodnie będzie zapisać równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) w postaci parametrycznej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+z-8=0\\ x+4y-2z+3=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=8-2x-3y\\x+4y-2z+3=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x+4y-2(8-2x-3y)=0}\)
\(\displaystyle{ 5x+10y-16=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{16}{5}-2y}\)
\(\displaystyle{ z=8-\frac{32}{5}-4y-3y}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ l:\ \begin{cases}
x=\frac{16}{5}-2t\\
y=t\\
z=\frac85-7t\end{cases}}\)
Mamy zatem wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \vec{n}=[-2,1,-7]}\) oraz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1}\): \(\displaystyle{ \vec{n}_1=[2,3,1]}\). Do tego znajdujemy punkt prostej \(\displaystyle{ l}\), np. \(\displaystyle{ P=\left(\frac{16}{5},1,\frac85\right)}\).
Możemy w tym momencie zapisać równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować (wyznaczona jest przez wektory \(\displaystyle{ \vec{n},\vec{n}_1}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\)):
Jako jej wektor normalny (przyda nam się w kroku 3) możemy przyjąć
\(\displaystyle{ \vec{m}=\vec{n}\times\vec{n}_1=[22,16,-8]}\)
a zatem równanie płaszczyzny ma postać
\(\displaystyle{ 22x+16y-8z+D=0}\)
Wykorzystujemy punkt \(\displaystyle{ P}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ 22\cdot\frac{16}{5}+16-8\cdot\frac85+D=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{352}{5}+\frac{80}{5}-\frac{64}{5}+D=0}\)
\(\displaystyle{ D=\frac{368}{5}}\)
Czyli równanie płaszczyzny ma postać
\(\displaystyle{ 22x+16y-8z+\frac{368}{5}}\)
Kroki 2, 3 i 4 są już stosunkowo proste.
[edit]: Warto sprawdzić rachunki bo liczę to w pamięci i od razu klepię w komputer, ta, że błędy rachunkowe są prawdopodobne.
1. Znajdujemy równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować.
2. Na prostej \(\displaystyle{ l_1}\) wybieramy dwa dowolne punkty.
3. Rzutujemy te punkty na znalezioną płaszczyznę.
4. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez te punkty.
Chyba największy problem może być z krokiem 1.
Do obliczeń wygodnie będzie zapisać równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) w postaci parametrycznej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+z-8=0\\ x+4y-2z+3=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=8-2x-3y\\x+4y-2z+3=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x+4y-2(8-2x-3y)=0}\)
\(\displaystyle{ 5x+10y-16=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{16}{5}-2y}\)
\(\displaystyle{ z=8-\frac{32}{5}-4y-3y}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ l:\ \begin{cases}
x=\frac{16}{5}-2t\\
y=t\\
z=\frac85-7t\end{cases}}\)
Mamy zatem wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \vec{n}=[-2,1,-7]}\) oraz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1}\): \(\displaystyle{ \vec{n}_1=[2,3,1]}\). Do tego znajdujemy punkt prostej \(\displaystyle{ l}\), np. \(\displaystyle{ P=\left(\frac{16}{5},1,\frac85\right)}\).
Możemy w tym momencie zapisać równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować (wyznaczona jest przez wektory \(\displaystyle{ \vec{n},\vec{n}_1}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\)):
Jako jej wektor normalny (przyda nam się w kroku 3) możemy przyjąć
\(\displaystyle{ \vec{m}=\vec{n}\times\vec{n}_1=[22,16,-8]}\)
a zatem równanie płaszczyzny ma postać
\(\displaystyle{ 22x+16y-8z+D=0}\)
Wykorzystujemy punkt \(\displaystyle{ P}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ 22\cdot\frac{16}{5}+16-8\cdot\frac85+D=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{352}{5}+\frac{80}{5}-\frac{64}{5}+D=0}\)
\(\displaystyle{ D=\frac{368}{5}}\)
Czyli równanie płaszczyzny ma postać
\(\displaystyle{ 22x+16y-8z+\frac{368}{5}}\)
Kroki 2, 3 i 4 są już stosunkowo proste.
[edit]: Warto sprawdzić rachunki bo liczę to w pamięci i od razu klepię w komputer, ta, że błędy rachunkowe są prawdopodobne.