odleglosc punktu od prostej

[otw]

obliczyc odlaglosc punktu \(\displaystyle{ M(3,4,5)}\) od prostej \(\displaystyle{ l: x+y-z=0}\)

[Rafal88K]

\(\displaystyle{ d(M,l) = \frac{|Ax_{m} + By_{m} + Cz_{m} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}}\)

[otw]

tutaj trzeba wyznaczyc jakos wektor normalny i rownanie plaszczyzny, podstawienie do wzoru nic nie da ;

[Hac_mi;]

a odnośnie tego zadania, czy ta ogledłośc ma być najmniejsza ? ... bo tak naprawdę odległość moze być bardzo rózna ... ale zakładając że ma być najmniejsza to nalezało by poprowadzić wektor prostopadły do prostej podany w zadaniu oraz obliczenie jego dlugości

[otw]

czy ta ogledłośc ma być najmniejsza ?

tak

[Jopekk]

Prostą możemy zapisać jako: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}i\\j\\k\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-y\\y\\0\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ +z}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]}\).

Zatem wektorem kierunkowym jest: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]}\).

\(\displaystyle{ A=M(3,4,5); B=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-y\\y\\0\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ +z}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]}\)

Czyli \(\displaystyle{ AB=\left[\begin{array}{c}-y+z-3\\y+z-4\\2z-5\end{array}\right]}\).

\(\displaystyle{ AB=\left[\begin{array}{c}-y+z-3\\y+z-4\\2z-5\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]=0}\).
\(\displaystyle{ z=17/6; y R}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(-0.1(6)-y)^2+(1.1(6)+y)^2+0.(6)^2}}\)
\(\displaystyle{ |AB|}\) jest najmniejsza dla\(\displaystyle{ y=0}\) i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{1.8(3)}}\)

[Lorek]

a odnośnie tego zadania, czy ta ogledłośc ma być najmniejsza

Jeżeli mamy odległość prostej od punktu albo odległość 2 prostych i w wielu podobnych zawsze chodzi o najmniejszą odległość.

[Jopekk]

Tak przemyślałem całą sprawę i chyba w treści zadania jest błąd. \(\displaystyle{ x+y-z=0}\) to raczej równanie płaszczyzny, a nie prostej.
W takim razie każdy \(\displaystyle{ \vec{a}}\) \(\displaystyle{ \perp}\) do płaszczyzny ma \(\displaystyle{ \vec{b}}\) kierunkowy \(\displaystyle{ t\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]}\).

Czyli równanie prostej \(\displaystyle{ \perp}\) do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y-z=0}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ A(3,4,5)}\) ma postać: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\\4\\5\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]}\).

Prosta ta leży na płaszczyźnie jeśli \(\displaystyle{ 3+t+4+t-5+t=0}\) zatem \(\displaystyle{ t=-2/3}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2.(3)\\3.(3)\\5.(6)\end{array}\right]}\) od tych współrzędnych odejmujemy współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\) i otrzymujemy wektor
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-2/3\\-2/3\\2/3\end{array}\right]}\).
Jego długość to odłegłóść punktu A od danej płaszczyzny i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{12)}/3}\).