trójkąt i długość wektora

[zermil]

Na boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano punkt \(\displaystyle{ D}\), taki że: \(\displaystyle{ \frac{ \left| \vec{BD}\right| }{\left| \vec{DC} \right| }= \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in R ^{+}}\) i \(\displaystyle{ b\in R ^{+}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{AD}= \frac{1}{a+b}\left( a \cdot \vec{AC}+b \cdot \vec{AB} \right)}\)

Zacząłem tak:Narysowałem rysunek. Następnie stwierdziłem, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \left| \vec{BD}\right| }{\left| \vec{DC} \right| }= \frac{a}{b}=\frac{ \vec{BD} }{ \vec{DC} }}\) bo wektory mają ten sam kierunek i zwrot.
\(\displaystyle{ \frac{ \vec{BD}}{ \vec{BC} }= \frac{a}{a+b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{AB}+ \vec{BD}= \vec{AB}+\left( \vec{BC} \cdot \frac{a}{a+b} \right)}\)
Jak dalej to rozwiązać?

[mortan517]

Ja bym to robił tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} \\ \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} \end{cases} \\
\begin{cases} \vec{AB} + \vec{DC} \frac{a}{b} = \vec{AD} \\ \vec{AC} - \vec{DC} = \vec{AD} \end{cases} \\}\)

W pierwszym równaniu podstawiłem z założenia. Teraz drugie równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i dodajesz stronami, mnożysz przez coś i koniec.