Napisać równanie prostej l..

[simonkiler]

Witam wszystkich, mam problem z jednym zadaniem, a mianowicie:
Napisz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(3,4,1)}\) prostopadłej do prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-2z-18=0 \\ x-3z-6=0 \end{cases}}\)
i równoległej do płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi:x+y-3z-7}\)

Nie chodzi tu nawet o gotowe rozwiązanie, ale chociaż o podpowiedzi, jak zacząć, co dalej

[lukasz1804]

Witaj na Forum!

Wystarczy wyznaczyć wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\).
W tym celu wyznacz wektor kierunkowy danej prostej oraz wektor normalny płaszczyzny. Szukany wektor ma być prostopadły do obu tych wektorów. Skorzystaj z warunku zerowania się iloczynu skalarnego.
Możesz przy tym przyjąć, że jedna ze współrzędnych szukanego wektora może być równa \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\), bowiem w przeciwnym razie dzieląc pozostałe współrzędne przez wartość tej ustalonej otrzymamy postać parametryczną tej samej prostej, innymi słowy postać równoważną.

W razie problemów pytaj śmiało.

[simonkiler]

Więc wektor prostej to \(\displaystyle{ n=[3,-5,1]}\) a płaszczyzny \(\displaystyle{ n=[1,1,-3]}\) i to te wektory się nie zerują, co teraz? jak znaleźć współrzędne szukanego wektora?

[lukasz1804]

Zakładam, że wektor prostej obliczyłeś poprawnie.

Niech wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l}\) będzie \(\displaystyle{ [u,v,w]}\).

Mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} [u,v,w]\circ[3,-5,1]=0 \\ [u,v,w]\circ[1,1,-3]=0 \end{cases}\iff\begin{cases} 3u-5v+w=0 \\ u+v-3w=0 \end{cases}\iff\begin{cases} 3u-5v+w=0 \\ u=3w-v \end{cases}\iff\begin{cases} 9w-3v-5v+w=0 \\ u=3w-v \end{cases}\iff\begin{cases} 10w-8v=0 \\ u=3w-v \end{cases}\iff\begin{cases} w=0,8v \\ u=1,4v \end{cases}}\).

Widać stąd, że nie można przyjąć \(\displaystyle{ v=0}\) (bo wtedy \(\displaystyle{ u=w=0}\), a wektor zerowy nie może być wektorem kierunkowym prostej). Zatem możemy przyjąć \(\displaystyle{ v=1}\) (lub \(\displaystyle{ v=5}\) żeby nie mieć ułamków). Mamy wtedy \(\displaystyle{ [u,v,w]=[7,5,4]}\).

[simonkiler]

Jednak to było trudniejsze niż myślałem. Dziękóweczka