Określ wzajemne położenie płaszczyzn.

[wojter40]

Oto treść zadania, z którym mam problem: Określ wzajemne położenie płaszczyzn:
\(\displaystyle{ Q1:5x-z+3=0 \\
Q2:2x-y-4z+5=0 \\
Q3:3y+2z-1=0}\)
Od czego zacząć i jak to obliczyć?
Proszę o skuteczną pomoc.

[lukequaint]

Na ile pomoc będzie skuteczna zależy od tego, co umiesz .

Wyznacz wektory normalne tych płaszczyzn.

• Jeśli któreś dwa są współliniowe, płaszczyzny przez nie wyznaczone są równoległe - odległość między dwiema płaszczyznami można wyznaczyć, licząc długość rzutu wektora łączącego punkt na jednej z nich z punktem na drugiej.
• Jeśli nie są równoległe, iloczynem wektorowym wyliczysz wektor rozpinający prostą, wzdłuż której się przecinają.

[wojter40]

Punkty na płaszczyznach mogę wybrać dowolnie, byleby znajdowały się na danych płaszczyznach?
Ktoś wspomniał mi o użyciu szeregów w tym przypadku, jednak niespecjalnie widzę tu tę metodę. Czy może się mylę?
Ps. Szacunek dla ludzi, walczących z matmą po nocach

[lukequaint]

Tak. Bierzesz punkt \(\displaystyle{ A}\) z płaszczyzny \(\displaystyle{ Q_{1}}\), punkt \(\displaystyle{ B}\) z płaszczyzny \(\displaystyle{ Q_{2}}\) i po odjęciu ich współrzędnych otrzymujesz wektor od jednego punktu do drugiego. Rzutujesz go na wektor normalny \(\displaystyle{ N}\) wg wzoru:\(\displaystyle{ P_{N}(U) = \frac{\left\langle U, N \right\rangle}{\left\langle N, N\right\rangle }N}\) i liczysz długość tego rzutu.
Jednak najpierw wyznacz wektory normalne tych płaszczyzn - wektory do nich prostopadłe - bo wygląda na to, że każde dwie się przecinają.

[wojter40]

Czyli w tym przypadku jakie współrzędne mogłyby mieć punkty A oraz B?
Których wektorów normalnych użyć? W tym momencie się pogubiłem..-- 9 lut 2014, o 16:06 --Każde dwie się przecinają, ale nie są prostopadłe, mam rację?

[lukequaint]

Przeczytaj dokładnie to, co napisałem - jeśli płaszczyzny nie są równoległe, nie potrzebujesz punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). A nie są. Jeśli by były, bierzesz dowolne punkty, które spełniają równania danych płaszczyzn. Np. dla \(\displaystyle{ Q_{1}}\) i \(\displaystyle{ Q_{3}}\) możnaby wziąć punkty \(\displaystyle{ A = [ 1, 0, 8]}\) i \(\displaystyle{ B=[0, 1, -1]}\).

Aby określić położenie dwóch płaszczyzn względem siebie, wyznaczasz wektory normalne tych dwóch płaszczyzn.
Przykładowo dla \(\displaystyle{ Q_{1}}\) i \(\displaystyle{ Q_{2}}\):
wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ Q_{1}}\):\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
5\\
0\\
-1
\end{array} \right)}\),
wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ Q_{2}}\):\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
-4
\end{array} \right)}\).

Wektory nie są współliniowe (równoległe), więc płaszczyzny się przecinają na prostej rozpinanej przez wektor:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
5\\
0\\
-1
\end{array} \right) \times \left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
-4
\end{array} \right)}\) = \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
-1\\
18\\
-7
\end{array} \right)}\).

Na koniec jeszcze trzeba wyznaczyć punkt leżący na przecięciu tych płaszczyzn - prosta musi przez niego przechodzić - bo żadna z nich nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array} \right)}\) (nie spełnia on równań tych płaszczyzn).

W odpowiedzi na edycję Twojej wiadomości: każde dwie się przecinają, a czy dane dwie są prostopadłe można stwierdzić licząc iloczyn skalarny ich wektorów normalnych - tego nie sprawdziłem.

[wojter40]

Iloczyn skalarny żadnej z par wektorów nie wyniesie 0 zatem nie będą one prostopadłe. Sprawdziłem.