Znajdź równanie płaszczyzny

[Kuset]

Hej. Czy ktoś mógłby mi pomóc w zadaniu?
Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty\(\displaystyle{ (1,7,8)}\) i \(\displaystyle{ (2,-6,-6)}\) i równoległej do osi Oz.

Nie wiem co zrobić z tą osią Oz

[lukasz1804]

Oś \(\displaystyle{ Oz}\) to prosta, której wektorem kierunkowym jest \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Wektor normalny płaszczyzny musi być do wektora osi prostopadły, stąd w równaniu płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) mamy \(\displaystyle{ C=0}\). Wykorzystaj dwa dane punkty i fakt, że można ograniczyć rozważania do przypadku \(\displaystyle{ A=0}\) lub \(\displaystyle{ A=1}\), przy czym \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) nie mogą być jednocześnie równe zeru.

[Kuset]

Hmm, pierwsze pytanie to: Dlaczego ograniczamy \(\displaystyle{ A = 0}\) lub \(\displaystyle{ A = 1}\)? Próbowałem potem podstawić moje dwa punkty do równania płaszczyzny. Pierwszym sposobem było pominięcie C, gdyż równe jest zero. Wyszło mi, że \(\displaystyle{ D = - \frac{14}{13}}\). Jest to jednak chyba zły tok myślenia. Następnie spróbowałem bez pominięcia C, gdyż doszedłem do wniosku na podstawie Pana podpowiedzi, że pomijam C dopiero w końcowym równaniu, a nie teraz. Więc wykorzystując dwa punkty oraz podstawiając odpowiednie wartości do równania płaszczyzny wyszła mi kolejna głupotka, tj. \(\displaystyle{ 13B + 14C = 2}\)

[lukasz1804]

Można przyjmować \(\displaystyle{ A=0}\) lub \(\displaystyle{ A=1}\), bo wiemy już, że \(\displaystyle{ C=0}\) i dzieląc równanie stronami przez \(\displaystyle{ A}\) (jeśli jest różne od zera) dostaniemy równanie opisujące tę samą płaszczyznę.
Teraz wstawiamy współrzędne danych punktów:

\(\displaystyle{ [A\cdot 1+B\cdot 7+0\cdot 8+D=0\wedge A\cdot 2+B\cdot(-6)+0\cdot(-6)+D=0]\iff[A+7B+D=0\wedge 2A-6B+D=0]}\)

Dla \(\displaystyle{ A=0}\) mamy \(\displaystyle{ 7B+D=-6B+D=0}\), skąd \(\displaystyle{ B=D=0}\), więc ten przypadek trzeba pominąć.
Zatem pozostaje przypadek \(\displaystyle{ A=1}\).

[Kuset]

Zaczynam coś rozumieć
Zatem rozważając przypadek dla \(\displaystyle{ A = 1}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 + B \cdot 7 + D = 2 \cdot 1 - B \cdot 6 + D = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 + 7B + D = 2 - 6B + D = 0}\)
\(\displaystyle{ D = -1 - 7B}\)
\(\displaystyle{ 2 - 6B - 1 -7 B = 0}\)
\(\displaystyle{ -13B = -1}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{1}{13}}\)
\(\displaystyle{ D = - \frac{20}{13}}\)

Hmm, podstawiając do równania płaszczyzny będziemy mieli: \(\displaystyle{ x + \frac{1}{13} y - \frac{20}{13}}\) .
Jednak prawidłowa odp. to: \(\displaystyle{ y = 13x + y -20 = 0}\)

[lukasz1804]

Nikt nie powiedział, że w końcowej postaci równania płaszczyzny trzeba koniecznie pozostawać przy \(\displaystyle{ A=1}\). Zawsze można się pozbyć ułamków na korzyść współczynników całkowitych mnożąc równanie stronami przez pewną liczbę różną od zera.