Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

[jbeb]

Oblicz kąt nachylenia prostej \(\displaystyle{ l}\) do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) (podaj \(\displaystyle{ cos \alpha}\)):

\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{1} = \frac{z-1}{-2}}\)

\(\displaystyle{ \pi : 3x + 4z -7 = 0}\)

-- 2 lut 2014, o 21:40 --

Próbowałam znaleźć punkty prostej i z nich obliczyć wektor (który byłby równoległy do płaszczyzny, należał by do niej). Później z iloczynu skalarnego tego wektora i wektora prostej obliczyć ten cosinus... ale nie wychodzi...

Chciałam też znaleźć iloczyn wektorowy między wektorem prostej i wektorem płaszczyzny z postaci ogólnej. Iloczyn wektorowy da wektor prostopadły do płaszczyzny jaką tworzą i równocześnie równoległy do płaszczyzny wyjściowej... (ale chyba to złe rozumowanie...). Później chciałam liczyć skalarny tego wektora z iloczynu wektorowego i wektora prostej... no ale wychodzi, że są prostopadłe bo skalarny wychodzi 0...

Nie wiem jak mam się zabrać za to zadanie...-- 2 lut 2014, o 22:18 --Proszę o wskazówki lub przynajmniej wskazanie błędu w moim rozumowaniu...

[chris_f]

Znajdź punkt przecięcia prostej i płaszczyzny, niech to będzie np. \(\displaystyle{ P}\). Na prostej wybierz jakikolwiek punkt, np. \(\displaystyle{ R}\) i znajdź jego rzut prostopadły na płaszczyznę - oznaczmy go przez \(\displaystyle{ Q}\).
Szukany kąt, to będzie kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{PQ}}\) i \(\displaystyle{ \vec{PR}}\) - a ten znajdziesz choćby z iloczynu skalarnego.

[janusz47]

Kątem nachylenia prostej do płaszczyzny nazywamy kąt ostry \(\displaystyle{ \phi}\), jaki ta prosta tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę.

\(\displaystyle{ \sin(\phi)= \frac{| 3\cdot 2+ 4\cdot 1+(-7)\cdot (-2)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-7)^{2}}\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}= \frac{8}{\sqrt{74}}}\)

\(\displaystyle{ cos(\phi)= \sqrt{1 -\frac{64}{74}}=\sqrt{\frac{10}{74}}}\)

[Marmat]

Wyznacz wektor kierunkowy prostej :u= [2,1,-2].
Wyznacz wektor normalny płaszczyzny:n= [3,0,4]
Oblicz kosinus kąta między tymi wktorami używając iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ cos \beta = \frac{\left| u \cdot n\right| }{\left| u\right|\left| n\right| }}\)
\(\displaystyle{ cos \beta = \frac{ \left| 6-8 \right| }{ \sqrt{9} \sqrt{25} }}\)
\(\displaystyle{ cos \beta = \frac{2}{15}}\)
Kąt szukany to taki kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), który jest dopełnieniem kąta \(\displaystyle{ \beta}\) do \(\displaystyle{ 90^0}\).
Więc : \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{2}{15}}\).
Pozdrawiam.

[jbeb]

Marmat ale przecież ten cosinus nie będzie kątem między prostą a płaszczyzną, bo wektor normalny płaszczyzny jest do niej prostopadły, a nie równoległy...

Odpowiedź to: \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{221} }{15}}\)

-- 2 lut 2014, o 22:55 --

Znajdź punkt przecięcia prostej i płaszczyzny, niech to będzie np. \(\displaystyle{ P}\). Na prostej wybierz jakikolwiek punkt, np. \(\displaystyle{ R}\) i znajdź jego rzut prostopadły na płaszczyznę - oznaczmy go przez \(\displaystyle{ Q}\).
Szukany kąt, to będzie kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{PQ}}\) i \(\displaystyle{ \vec{PR}}\) - a ten znajdziesz choćby z iloczynu skalarnego.

Wyznaczyłam \(\displaystyle{ P= (1,0,1)}\), punkt \(\displaystyle{ R = (3,-2,-1)}\), a punkt \(\displaystyle{ Q = ( \frac{81}{25}, -2, \frac{-17}{25})}\) (wyznaczyłam go: najpierw prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ R}\) i zawierająca wektor \(\displaystyle{ [3,0,4]}\) i później punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny to ten szukany... Ale nie wychodzi mi ten wynik... gdzie jest błąd?

[chris_f]

Dla wygody równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) piszę w postaci parametrycznej
\(\displaystyle{ l:\begin{cases}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=1-2t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \pi: 3x+4z-7=0}\)
Szukam punktu \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ 3(1+2t)+4(1-2t)-7=0}\)
\(\displaystyle{ -2t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow P=(1,-3,1)}\)
Punkt \(\displaystyle{ R}\) wyznaczam wybierając dowolną wartość parametru, np. \(\displaystyle{ t=1}\), co daje punkt \(\displaystyle{ R=(3,-2,-1)}\). Szukam prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ R}\), będzie miała równanie
\(\displaystyle{ k:\begin{cases}
x=3+3t\\ y=-2\\ z=-1+4t\end{cases}}\)
Szukam punktu \(\displaystyle{ Q}\), będącego przecięciem prostej \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
\(\displaystyle{ 3(3+3t)+4(-1+4t)-7=0}\)
\(\displaystyle{ 25t-2=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{2}{25}\Rightarrow Q=\left(\frac{81}{25},-2,-\frac{17}{25}\right)}\)
No i teraz wektory:
\(\displaystyle{ \vec{PQ}=\left[\frac{56}{25},1,-\frac{42}{25}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{PR}=\left[2,1,-2\right]}\)
Długości wektorów:
\(\displaystyle{ |\vec{PQ}|=\sqrt{\frac{3136}{625}+\frac{625}{625}+\frac{1764}{625}}=
\sqrt{\frac{5525}{625}}=\sqrt{\frac{221}{25}}=\frac{\sqrt{221}}{5}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{PR}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3}\)
Iloczyn skalarny"
\(\displaystyle{ \vec{PQ}\circ\vec{PR}=2\cdot\frac{56}{25}+1+2\cdot\frac{42}{25}=\frac{112+25+84}{25}=221}\)
No i cosinus kąta
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{221}{3\cdot\frac{\sqrt{221}}{5}}=\frac{5\sqrt{221}}{3}}\)
Nie wiem czemu, ale minimalnie różni się od podanego przez Ciebie wyniku, u mnie ta piątka wskoczyła do licznika, a w wyniku jest w mianowniku. Może gdzieś zrobiłem błąd rachunkowy.

W Twoich obliczeniach pomyliłaś się przy wyznaczaniu punktu \(\displaystyle{ P}\).

[jbeb]

Wszystko się zgodzi Zgubiłeś przy liczeniu skalarnego 25 w mianowniku.

BARDZO CI DZIĘKUJĘ