Napisz równanie hiperboli.

[Kuset]

Proste \(\displaystyle{ y= 2x, y= -2x}\) są asymptotami hiperboli przechodzącej przez punkt P(4,0). Napisz równanie tej hiperboli. Jak zabrać się za to zadanie?

[Ania221]

A jakie są równania asymptot hiperboli?
Jakie jest równanie ogólne hiperboli?
Wypisz je najpierw.
Tu masz ściągę

[Kuset]

no więc równania asymptot to: \(\displaystyle{ y = - \frac{b}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ y = \frac{b}{a}}\)
wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ \frac{b}{a} = 2}\)
Ogólne równanie hiperboli to: \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} } = 1}\)

Próbowałem teraz podstawić, za: \(\displaystyle{ b = 2a}\) do równania hiperboli , ale ostatecznie wyszło mi, że \(\displaystyle{ 4a ^{4} = 0}\) więc chyba nie ta droga

[Ania221]

No ale znasz współrzędne punktu P należącego do tej hiperboli. Wykorzystaj go.

[Kuset]

Ah, zapomniałem o nim. Jednak w moich obliczeniach chyba się zapędziłem. Mój tok myślenia:
a) zmieniłem równanie z c, aby uzyskać \(\displaystyle{ a ^{2} i b ^{2}}\) bez pierwiastka.
Wyszło mi coś takiego: \(\displaystyle{ c ^{2} = a ^{2} + b ^{2}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ b ^{2} = 16 - a ^{2}}\)
b) Podstawiam do równania \(\displaystyle{ 2a}\) do równania ^up
Zatem: \(\displaystyle{ (2a) ^{2} = 16 - a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{4 \sqrt{5} }{5} \vee a=- \frac{4 \sqrt{5} }{5}}\)
c) Szukam b:
\(\displaystyle{ b=2a}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{8 \sqrt{5} }{5} \vee - \frac{8 \sqrt{5} }{5}}\)

Mógłbym teraz podstawić wyniki do równania hiperboli, ale czy to jest dobrze? Nie jestem pewien...

[Ania221]

A może zacznij jeszcze raz.
Od ogólnego równania hiperboli

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} } = 1}\) i punktu \(\displaystyle{ P(4,0)}\).
Zobacz, co z tego uda sie uzyskać.

[Kuset]

Hmm, można jeszcze wstawić wartości z punktu P, tj. x i y do ogólnego równania hiperboli. Wówczas będę mieć:
\(\displaystyle{ \frac{16}{a ^{2} } - \frac{0}{b ^{2} } = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{16}{a ^{2} } = 1 + \frac{0}{b ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{16}{a ^{2} } = \frac{b ^{2} }{b ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{16}{a ^{2} } = 1}\)
\(\displaystyle{ 16 = a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a = 4 \vee a = -4}\)

Czyżbym do czegoś sensownego doszedł?

[Ania221]

nooo...
W równaniu hiperboli sa kwadraty, więc liczy sie tylko wartość \(\displaystyle{ a}\) a nie znak, i tak samo z \(\displaystyle{ b}\)
Więc teraz wszystko jedno, którą styczną wykorzystasz, weź tę która Ci bardziej pasuje.

[Kuset]

No więc teraz, aby wyliczyć b skorzystam z równania stycznej \(\displaystyle{ y = 2x}\)
\(\displaystyle{ 2 = \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ b = 8}\)

Podstawiam do równania ogólnego hiperboli i mój wynik to: \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{16} - \frac{y ^{2} }{64} = 1}\)

Czy tak? Dziękuję bardzo za pomoc

[Ania221]

Bardzo dobrze:)

[Kuset]

Super ! Jesteś wielka Dziękuję i pozdrawiam