Zbadać wzajemne położenie 2. płaszczyzn \(\displaystyle{ H _{1}: -x+y-mz = 2}\)
\(\displaystyle{ H _{2}: mx - my +z = m+1}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ m \in R}\). W przypadku gdy są równoległe znaleźć odległość między nimi.
Położenie 2. płaszczyzn
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Położenie 2. płaszczyzn
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y-mz=2 \\ mx-my+z=m+1 \end{cases}\iff\begin{cases} y=x+mz+2 \\ mx-mx-m^2z-2m+z=m+1\end{cases}\iff\begin{cases} y=x+mz+2 \\ z(1-m^2)=3m+1 \end{cases}}\)
Równanie \(\displaystyle{ z(1-m^2)=3m+1}\) ma rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m\in\RR\setminus\{-1,1\}}\) i łatwo zauważyć, że częścią wspólną płaszczyzn \(\displaystyle{ H_1, H_2}\) jest prosta. Dla \(\displaystyle{ m=-1}\) oraz dla \(\displaystyle{ m=1}\) nie ma ono rozwiązań, więc płaszczyzny \(\displaystyle{ H_1, H_2}\) są wtedy równoległe.
Odległość między płaszczyznami równoległymi najłatwiej obliczysz jako odległość dowolnie obranego punktu na jednej z płaszczyzn od drugiej z nich.
Równanie \(\displaystyle{ z(1-m^2)=3m+1}\) ma rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m\in\RR\setminus\{-1,1\}}\) i łatwo zauważyć, że częścią wspólną płaszczyzn \(\displaystyle{ H_1, H_2}\) jest prosta. Dla \(\displaystyle{ m=-1}\) oraz dla \(\displaystyle{ m=1}\) nie ma ono rozwiązań, więc płaszczyzny \(\displaystyle{ H_1, H_2}\) są wtedy równoległe.
Odległość między płaszczyznami równoległymi najłatwiej obliczysz jako odległość dowolnie obranego punktu na jednej z płaszczyzn od drugiej z nich.