Równanie stycznej do okręgu

[michal1233]

Witam.

Rozwiązuje zadanie z geometrii analitycznej o treści "Zajdź równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2x+12y+28=0}\), prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ k: x+2y+3=0}\)

Problem jest taki, że po przekształceniu równania okręgu i skorzystania ze wzoru na odległość punktu od prostej delta wychodzi dodatnia, a powinna być równa zero.

Przekształcone równanie okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+6)^{2}=9}\)

Wykorzystanie wzoru na odległość punktu od prostej:
\(\displaystyle{ \frac{\left|2 \cdot 1-1 \cdot (-6)+b\right|}{ \sqrt{4+1}}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|b+8\right|}{\sqrt{5}}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{b^{2}+16b+64}{5}=45}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+16b+19=0}\)

Delta wychodzi \(\displaystyle{ >0}\), a powinna być równa zero. Gdzie tkwi błąd?

[mortan517]

A dlaczego wyróżnik ma być zerem?

[michal1233]

Ponieważ prosta ma mieć tylko jeden punkt styczny z okręgiem.

[mortan517]

Aaa już wiem dlaczego ci się takie coś nasuwa.

W sposobie który tu przedstawiłeś, już mamy założenie, że jest tylko jeden punkcik wspólny, więc po prostu z tego \(\displaystyle{ |b+8|=3 \sqrt{5}}\) wyliczasz \(\displaystyle{ b}\) i koniec.

Wyróżnik musiałby być równy \(\displaystyle{ 0}\) w przypadku, gdybyś wstawił, np. \(\displaystyle{ y=2x+b}\) do tego równania \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+6)^{2}=9}\), bo wtedy wymagany warunek to właśnie jeden punkt wspólny. Możesz to sprawdzić właśnie tym sposobem.

edit: poprawiłem prostą prostopadłą

[michal1233]

Czyli rozumiem, że zadanie ma dwa rozwiązania?

\(\displaystyle{ y=2x+3\sqrt{5}-8 \vee y=2x-3\sqrt{5}-8}\)

[mortan517]

Tak

o treści "Znajdź równania stycznych do okręgu

w treści już rzuca się w oczy "równania"

Poza tym narysuj sobie w układzie okrąg i jakąkolwiek prostą, która nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem, a następnie proste prostopadłe do tej prostej i posiadające jeden punkt wspólny z okręgiem. Ile takich różnych prostych możemy wyznaczyć?

[michal1233]

Dziękuje bardzo za pomoc