Pole trójkąta - jeden punkt i dwie środkowe

[kaki2308]

Witam!
Mam problem z takim oto zadankiem:

Oblicz pole trójkąta, mając dane dwie proste \(\displaystyle{ 4x + 5y + 17 = 0}\) i \(\displaystyle{ x -3y = 0}\)
zawierające środkowe trójka, oraz jeden jego wierzchołek \(\displaystyle{ A\left( -1, -6\right) .}\)

Próbowałem coś liczyć środki boków ale nie mam pomysłu co dalej.

[Kaf]

Wskazówka: środkowe przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\).

[Ania221]

Druga wskazówka: w jakim stosunku dzielą sie środkowe nawzajem?

[Mariusz M]

Można wyznaczyć punkt przecięcia tych środkowych
i wtedy z dwupunktowego równania prostej wyznaczyć brakujące wierzchołki
Mając wierzchołki można obliczyć pole ze wzoru wyznacznikowego

[kaki2308]

Dzięki za pomoc. Właśnie je zrobiłem. Wystarczyła mi wskazówka o tym, że dzielą się w stosunku 2:1.
Punkty i wynik (\(\displaystyle{ 25.5}\)) wyszły ładne więc jest ok. Dzięki!

[Mariusz M]

To co napisałem w poprzednim poście nie zadziała ale...

Policzmy współrzędne środków

\(\displaystyle{ \left( \frac{-1+x_{c}}{2}, \frac{-6+y_{c}}{2} \right)\\
\left( \frac{-1+x_{b}}{2}, \frac{-6+y_{c}}{2} \right)}\)

Wstawmy współrzędne środków oraz wierzchołków do odpowiednich równań prostych
i zapiszmy dwa układy równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4\left( \frac{-1+x_{c}}{2} \right)+5\left( \frac{-6+y_{c}}{2} \right)+17=0 \\ x_{c}-3y_{c}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} \left( \frac{-1+x_{b}}{2} \right)-3\left( \frac{-6+y_{b}}{2} \right)=0 \\ 4x_{b}+5y_{b}+17=0 \end{cases} \\
\begin{cases} -2+2x_{c}-15+\frac{5}{2}y_{c}+17=0 \\ x_{c}-3y_{c}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} - \frac{1}{2}+\frac{x_{b}}{2}+\frac{18}{2}-\frac{3}{2}y_{b} \\4x_{b}+5y_{b}+17=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 4x_{c}+5y_{c}=0 \\ x_{c}-3y_{c}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} x_{b}-3y_{b}=-17 \\ 4x_{b}+5y_{b}=-17 \end{cases}\\
\begin{cases} x_{c}=0 \\ y_{c}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} 4x_{b}-12y_{b}=-68 \\ -4x_{b}-5y_{b}=17 \end{cases} \\
\begin{cases} x_{c}=0 \\ y_{c}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} -17y_{b}=-51 \\x_{b}=-17+3y_{b} \end{cases} \\
\begin{cases} x_{c}=0 \\ y_{c}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} y_{b}=3 \\x_{b}=-8 \end{cases} \\}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\left| \det{ \begin{bmatrix} -1&-6&1 \\ -8&3&1\\0&0&1 \end{bmatrix} }\right| \\
P= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left( -1\right)^6\left| -1 \cdot 3-\left( -6\right) \cdot \left( -8\right) \right| \\
P=\frac{51}{2}}\)