Parabola i styczna

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
jarodol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 223
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 59 razy

Parabola i styczna

Post autor: jarodol »

Dana jest parabola p o równaniu \(\displaystyle{ y ^{2} = 4x.}\) Prosta l jest styczna do tej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ A =(1,2)}\) i przecina osie układu współrzędnych w punktach R i S.

a) Parabolę p przekształcono przez jednokładność o środku w punkcie \(\displaystyle{ O = (0,0)}\) i skali k otrzymując parabolę p`. Podaj liczbę punktów wspólnych paraboli p` i prostej l w zależności od skali k.
b) Wyznacz skalę k jednokładności tak, by środek M odcinka RS należał do paraboli p`. Zrób odpowiedni rysunek.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Parabola i styczna

Post autor: Ania221 »

p.a) Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\)
Wyznacz równanie paraboli po przekształceniu (będzie z parametrem \(\displaystyle{ k}\))
Z okładu równań wyznacz \(\displaystyle{ k}\) dla których układ ma \(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań, \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie, \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania. (będzie równanie kwadratowe z deltą)
Warto zacząć od rysunku (po wyznaczeniu równania prostej l łatwo go zrobić) i naszkicowania też orientacyjnie kilku paraboli po przekształceniu dla różnych k.

p b) Wyznacz współrzędne pkt \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) , następnie punktu \(\displaystyle{ M}\). Podstaw do równania przekształconej paraboli, wyznacz \(\displaystyle{ k}\)
jarodol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 223
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 59 razy

Parabola i styczna

Post autor: jarodol »

rownanie prostej l wyznaczylem i jest ona rowna y= x+1

ale jak wyznaczyc rownanie paraboli z parametrem to juz nie wiem...
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Parabola i styczna

Post autor: Ania221 »

Parametrem będzie skala jednokładności \(\displaystyle{ k}\)
Jak zapisać rónanie paraboli po przekształceniu przez jedn. o skali \(\displaystyle{ k}\) ?
jarodol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 223
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 59 razy

Parabola i styczna

Post autor: jarodol »

no wlasnie nie wiem.....
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Parabola i styczna

Post autor: Ania221 »

Polecam tablice matematyczne, to naprawdę fajna ściąga jest.
Jeżeli środkiem jednokładności jest punkt \(\displaystyle{ O(0,0)}\), to

\(\displaystyle{ x'=kx}\)
\(\displaystyle{ y'=ky}\)
Wyznaczasz z tego \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i podstawiasz do swojego równania paraboli, otrzymujesz nowe równanie z parametrem \(\displaystyle{ k}\)
jarodol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 223
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 59 razy

Parabola i styczna

Post autor: jarodol »

ok wiec wyszlo tak:

\(\displaystyle{ ky' ^{2} = 4kx'}\)

i co dalej?
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Parabola i styczna

Post autor: Ania221 »

Hm...tam jest \(\displaystyle{ y^2}\)
Jedno k powinno się skrócić.
Dalej napisz to bez primów i traktuj jak wzór funkcji po przekształceniu.
Czyli szukasz punktów wspólnych z prostą. A znalazłeś już równanie tej stycznej?
jarodol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 223
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 59 razy

Parabola i styczna

Post autor: jarodol »

racja.... juz sobie poradzilem do konca. dzieki wielkie
ODPOWIEDZ