zbadać, dla jakich wartosci parametru m punkt przeciecia prostych mx + (2m-1)y-3m=0 oraz x+my-m=0 należy do trójkąta o wierzchołkach A=(0,0) B=(3,0) C=(0,3).
dzieki za wszelka pomoc.
2 proste i parametr
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
2 proste i parametr
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} mx+(2m-1)y-3m=0\\ x+my-m=0 \end{array}}\)
(ja rozwiązałem metodą podstawiania wyznaczając x z drugiego równania)
Otrzymałem:
\(\displaystyle{ x=\frac{m^2+m}{(m-1)^2} \ \ ; \ \ y=\frac{m^2-3m}{(m-1)^2}}\)
przy założeniu, że m≠1.
Trójkąt z treści zadania jest opisany przez układ nierówności:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x\geqslant 0\\ y\geqslant 0 \\ y\leqslant -x+3 \end{array}}\)
(wynika to z położenia prostych AB, AC, BC, których równania łatwo wyznaczyć)
Zatem wystarczy rozwiązać układ nierówności:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{m^2+m}{(m-1)^2} \geqslant 0\\ \frac{m^2-3m}{(m-1)^2}\geqslant 0\\\frac{m^2-3m}{(m-1)^2}\leqslant -\frac{m^2+m}{(m-1)^2}+3 \end{array}}\)
Ostateczne rozwiązanie, które otrzymałem to:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty;-1>\cup }\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} mx+(2m-1)y-3m=0\\ x+my-m=0 \end{array}}\)
(ja rozwiązałem metodą podstawiania wyznaczając x z drugiego równania)
Otrzymałem:
\(\displaystyle{ x=\frac{m^2+m}{(m-1)^2} \ \ ; \ \ y=\frac{m^2-3m}{(m-1)^2}}\)
przy założeniu, że m≠1.
Trójkąt z treści zadania jest opisany przez układ nierówności:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x\geqslant 0\\ y\geqslant 0 \\ y\leqslant -x+3 \end{array}}\)
(wynika to z położenia prostych AB, AC, BC, których równania łatwo wyznaczyć)
Zatem wystarczy rozwiązać układ nierówności:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{m^2+m}{(m-1)^2} \geqslant 0\\ \frac{m^2-3m}{(m-1)^2}\geqslant 0\\\frac{m^2-3m}{(m-1)^2}\leqslant -\frac{m^2+m}{(m-1)^2}+3 \end{array}}\)
Ostateczne rozwiązanie, które otrzymałem to:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty;-1>\cup }\)