Znajdź wektor prostopadły do płaszczyzny

[valverde12345]

Zad 1: Płaszczyzna zadana jest przez wektory \(\displaystyle{ [1; 2; 3]; [3; 4; 5]}\) i punkt \(\displaystyle{ (1; 1; 2).}\) Znajdz wektor prostopadły do płaszczyzny.

Mam problem z wyznaczeniem równania tej płaszczyzny. Nie wiem za bardzo w jaki sposób przejść z postaci 2 wektorów do postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz=0}\). \(\displaystyle{ D}\) o ile sie nie mylę wyznaczy się za pomocą podanego punktu. Z tego co się orientuje to podane wektory są krawędziami tej płaszczyzny, ale nie mam pojęcia jak z nich wyznaczyć te współczynniki.

Zad 2: Płaszczyzny \(\displaystyle{ L, V}\) przechodza przez punkt \(\displaystyle{ (1; 2; 1)}\) i sa prostopadłe od wektorów, odpowiednio \(\displaystyle{ [1; 2; 3]; [3; 2; 1]}\)
Wystarczy podstawić: \(\displaystyle{ 1 \cdot 1+2 \cdot 2+3 \cdot 1+D=0}\)
wiec: \(\displaystyle{ D=-7}\) Postać ogólna płaszczyzny: \(\displaystyle{ L=x+2y+3z-7=0}\), analogicznie 2 płaszczyzna. Dobrze myślę?

[chris_f]

W zadaniu pierwszym trzeba przejść z równania parametrycznego płaszczyzny do ogólnego. Mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=t+3s+1\\y=2t+4s+1\\z=3t+5s+2\end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ równań traktując \(\displaystyle{ t,s}\) jako niewiadome.
Z pierwszego mamy \(\displaystyle{ t=x-3s-1}\), podstawiamy do pozostałych
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=2(x-3s-1)+4s+1\\
z=3(x-3s-1)+5s+2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=2x-2s-1\\
z=3x-4s-1\end{cases}}\)
Teraz dla odmiany pierwsze równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ -2}\) dodam do drugiego
\(\displaystyle{ z-2y=6x+1}\)
Porządkujemy i dostajemy równanie ogólne
\(\displaystyle{ 6x+2y-z+1=0}\)
No i wektor normalny jest gotowy.

W drugim jeżeli trzeba wyznaczyć równania tych płaszczyzn, to dobrze kombinujesz.