Witam, mam takie zadanko:
Wyznacz wspolrzedne punktu nalezacego do paraboli o rownaniu \(\displaystyle{ y=x^2 -2x+1}\) tak, aby jego odleglosc od punktu \(\displaystyle{ P=(4,0)}\) byla najmniejsza.
pozdrawiam
parabola + pochodna
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
parabola + pochodna
P=(4;0), Q=(x;x^2-2x+1)
Odległość między tymi punktami:
\(\displaystyle{ d=d(x)=\sqrt{(x-4)^2+(x^2-2x+1)^2}=\sqrt{x^4-4x^3+7x^2-12x+17} \\ \\ d'(x)=\frac{4x^3-12x^2+14x-12}{2\sqrt{x^4-4x^3+7x^2-12x+17}} \\ \\ d'(x)=0 \\ 4x^3-12x^2+14x-12=0 \\ x=2}\)
Z układu znaków pochodnej uzasadnij rodzaj ekstremum.
Szukany punkt wtedy ma współrzędne Q=(2;1)
Odległość między tymi punktami:
\(\displaystyle{ d=d(x)=\sqrt{(x-4)^2+(x^2-2x+1)^2}=\sqrt{x^4-4x^3+7x^2-12x+17} \\ \\ d'(x)=\frac{4x^3-12x^2+14x-12}{2\sqrt{x^4-4x^3+7x^2-12x+17}} \\ \\ d'(x)=0 \\ 4x^3-12x^2+14x-12=0 \\ x=2}\)
Z układu znaków pochodnej uzasadnij rodzaj ekstremum.
Szukany punkt wtedy ma współrzędne Q=(2;1)