Wyznacz rzut prostopadły prostej \(\displaystyle{ l : \left\{\begin{array}{l} x-y+x+4=0 \\ 2x+3y+z-1=0\end{array}}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi: x-2y-3z-1=0}\)
Wiem, że muszę napisać równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_2}\) prostopadłej do płaszczyzny pi przechodzącej przez prostą l. Bardzo proszę o wytłumaczenie w kilku krokach jak to zadanie rozwiązać.
Wyznacz rzut prostopadły
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wyznacz rzut prostopadły
Wyznacz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodząc od równania krawędziowego do parametrycznego, niech będzie to wektor \(\displaystyle{ \vec{k}}\). Wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) od razu odczytujesz z równania, będzie to \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,-2,-3]}\).
Teraz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_2}\) uzyskasz biorąc wektory \(\displaystyle{ \vec{k},\vec{n}}\) jako wektory tworzące. Te dwa wektory gwarantują, że tak rozpięta płaszczyzna będzie prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i równoległa do prostej \(\displaystyle{ l}\).
Wystarczy jedynie wyznaczyć jakikolwiek punkt prostej \(\displaystyle{ l}\) (łatwo to zrobić korzystając z równania parametrycznego) i użyć go do napisania równania parametrycznego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_2}\).
No i szukany rzut wyznaczony jest przez równanie krawędziowe złożone z równań płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \pi_2}\).
Ja bym robił to inaczej (ale to kwestia gustu). Znalazłbym dwa dowolne punkty na prostej \(\displaystyle{ l}\) i wyznaczył ich rzuty na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) (to akurat stosunkowo łatwo idzie, bo rzutujemy w kierunku wektora normalnego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)). No i teraz wystarczy napisać równanie prostej przechodzącej przez te dwa rzuty.
Różnica będzie taka, że tu dostaniemy od razu równanie parametryczne prostej.
Teraz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_2}\) uzyskasz biorąc wektory \(\displaystyle{ \vec{k},\vec{n}}\) jako wektory tworzące. Te dwa wektory gwarantują, że tak rozpięta płaszczyzna będzie prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i równoległa do prostej \(\displaystyle{ l}\).
Wystarczy jedynie wyznaczyć jakikolwiek punkt prostej \(\displaystyle{ l}\) (łatwo to zrobić korzystając z równania parametrycznego) i użyć go do napisania równania parametrycznego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_2}\).
No i szukany rzut wyznaczony jest przez równanie krawędziowe złożone z równań płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \pi_2}\).
Ja bym robił to inaczej (ale to kwestia gustu). Znalazłbym dwa dowolne punkty na prostej \(\displaystyle{ l}\) i wyznaczył ich rzuty na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) (to akurat stosunkowo łatwo idzie, bo rzutujemy w kierunku wektora normalnego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)). No i teraz wystarczy napisać równanie prostej przechodzącej przez te dwa rzuty.
Różnica będzie taka, że tu dostaniemy od razu równanie parametryczne prostej.