Odległość punktu od prostej w przestrzeni

[ZaKooN]

\(\displaystyle{ P(2,-5,1)


l: \begin{cases} x=t \\ y=1-2t \\ z=-3+2t \end{cases}}\)


Jak się za to zabrać?

[szw1710]

Rzut prostokątny punktu na prostą. Realizujemy go jako punkt przecięcia płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ \ell}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Napisanie równania tej płaszczyzny przy elementarnej wiedzy trwa nie dłużej niż pół minuty. W zasadzie brak obliczeń. Oczywiście potem punkt wspólny. Tu już troszeczkę trzeba policzyć.

[ZaKooN]

Czyli równanie płaszczyzny będzie miało taką postać? \(\displaystyle{ \pi : x-2y+2z-14=0}\)

a punkt (\(\displaystyle{ \frac{22}{9},1- \frac{44}{9},-3+ \frac{44}{9}}\))

No ale nadal nie mam odległości.

[lukasz1804]

Wyznaczony przez Ciebie punkt to rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Wystarczy teraz obliczyć odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ P}\).

Można też podejść inaczej. Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt \(\displaystyle{ P}\) z punktem na prostej \(\displaystyle{ l}\).
Jako że dowolny punkt \(\displaystyle{ L}\) na tej prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ (t,1-2t,-3+2t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in\RR}\), należy rozważyć długość odcinka \(\displaystyle{ PL}\), albo jeszcze prościej kwadrat tej długości - będzie to funkcja kwadratowa zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Wystarczy wyznaczyć jej wzór (korzystając ze wzoru na odległość punktów) i wyznaczyć rzędną wierzchołka paraboli (to jest jej wartość najmniejsza). Oczywiście na koniec trzeba pamiętać, że otrzymana wartość to kwadrat odległości punktu od prostej, więc należy obliczyć pierwiastek kwadratowy otrzymanej liczby.