Kąt między płaszczyzną i prostą - sprawdzenie

[LEoPARD]

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x-y+z-3=0\\y+2z-3=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \pi : 4x-y+z-3=0}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=(4,-1,1)}\)
Najpierw liczę iloczyn wektorowy z \(\displaystyle{ \vec{u}=(1,-1,0)}\) i \(\displaystyle{ \vec{v} = (0,1,2)}\)
W wyniku otrzymuję wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=(-1,2,2)}\)
teraz ze wzoru na kąt:
\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}\)

[Rudis]

Znajdz punkt przecięcia P prostej z płaszczyzną.Z iloczynu wektorowego wektora kierunkowego prostej i wektora normalnego otrzymasz wektor normalny płaszczyzny której przecięcie z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\) to rzut prostej l na \(\displaystyle{ \pi}\).Wyznacz równanie rzutu biorąc punkt przecięcia P i wektor kierunkowy rzutu k wyznaczony np. poprzez iloczyn wektorowy obu płaszczyzn.Szukany kąt to kąt między wektorem kierunkowym rzutu k i prostej l.Z iloczynu skalarnego postaci \(\displaystyle{ \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos \alpha}\) łatwo wyznaczyć cosinusa który jest szukanym kątem.

We wzorze na kąt między dwiema prostymi jest cosinus a nie sinus jak u Ciebie.Wynika to z:

\(\displaystyle{ \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha}\)

Wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ |\vec{a}||\vec{b}|}\).