Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
damS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 38 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: damS »

Wyznaczyć równanie sfery przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P(−1, 0,−3), Q(3, 3, 2),R(2, 0,−2)}\)
jeśli wiadomo, ze jej środek leży na płaszczyźnie : \(\displaystyle{ x + 2y + z − 1 = 0}\).

Proszę o nakierowanie
szw1710

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: szw1710 »

Znajdź punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta - równo oddalony od wierzchołków. Punkty równo oddalone od wierzchołków leżą na prostej prostopadłej do płaszczyzny trójkąta przechodzącej przez punkt przecięcia symetralnych (nawiasem mówiąc środek okręgu opisanego na trójkącie). Teraz nic innego jak znaleźć punkt przecięcia tej prostej i zadanej płaszczyzny.

Wystarczy rozważyć (będzie znacznie prościej) płaszczyzny symetralne boków trójkąta. Przetną się w jednym punkcie - właśnie środku okręgu opisanego.
damS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 38 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: damS »

Mam z tym zadaniem problem, nie wiem jak mam wyznaczyć właśnie te symetralne.
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: Rudis »

Znajdz środek odcinka utworzonego z podanych punktów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) .Będzie to środek jednego z boków trójkąta.Po wyznaczeniu współrzędnych środka , nazwijmy go \(\displaystyle{ S}\)
znajdz wektor \(\displaystyle{ \vec{SR}}\) , który jest wektorem kierunkowym prostej symetralnej ( trójkąta poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ R}\) ) odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).Pozostaje już tylko skonstruować symetralną biorąc np punkt \(\displaystyle{ S}\) i wektor kierunkowy.Gdy znajdziesz rówania wszystkich symetralnych ,to wystarczy rozwiązać układ równań trzech prostych z których wyznaczysz punkt przecięcia.
damS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 38 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: damS »

Tylko nie wiadomo czy ten trójkąt jest równoboczny, twoje rozwiązanie właśnie na tym bazuje.
Czy może się mylę ?
Rudis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 6 sty 2014, o 13:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: Rudis »

Nie mylisz się.Moje niedopatrzenie.
A propos symetralnych , to moze w ten sposób:
Wyznacz równanie płaszczyzny o wektorze normalnym \(\displaystyle{ \vec{PQ}}\) przechodzącej przez srodek odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).Punkt przecięcia płaszczyzny z odcinkiem , który tworzy przeciwległy bok trójkąta będzię częścią prostej symetralnej.Teraz mając dwa punkty należące do symetralnej \(\displaystyle{ PQ}\) możesz z łatwością skonstruować prostą.
Ostatnio zmieniony 19 sty 2014, o 18:20 przez Rudis, łącznie zmieniany 1 raz.
damS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 38 razy

Równanie sfery przechodzącej przez 3 punkty

Post autor: damS »

Bardzo dobry sposób, dzięki bardzo za pomoc.
ODPOWIEDZ