Wyznaczyć odległość między prostymi

[Scruffy]

Wyznaczyć odległość między prostymi:
\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+3}{-1}}\)
\(\displaystyle{ l_{2} : \begin{cases} x=2t \\ y=t \\z=-t \end{cases}}\)
Wiem, że te proste są równoległe do siebie i niestety nie mogę skorzystać ze wzoru :
\(\displaystyle{ d(l _{1}, l_{2}) = \frac{| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} \cdot \vec{AB}| } {| \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}| }}\)
Bo ich iloczyn wektorowy jest równy \(\displaystyle{ 0}\). Proszę Was o wskazówki. Z góry dzięki za pomoc.

[lukasz1804]

Skoro widać, że proste są równoległe, to wystarczy obrać dowolny punkt na jednej z nich i wyznaczyć odległość tego punktu od drugiej prostej.

[rtuszyns]

Zatem wyznacz prostą prostopadłą do obu prostych i oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są punktami przecięcia się danych prostych z prostą do nich prostopadłą.

[chris_f]

Na jednej z prostych wybierz sobie jakikolwiek punkt (np. na \(\displaystyle{ l_1}\) punkt \(\displaystyle{ P=(1,0,-3)}\)) i teraz na drugiej prostej wybieramy punkt \(\displaystyle{ Q=(2t,t,-t)}\). Próbujemy teraz dobrać parametr \(\displaystyle{ t}\), tak, żeby wektor \(\displaystyle{ \vec{PQ}=[2t-1,t,-t+3]}\) był prostopadły do wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,1,-1]}\)
Obliczamy iloczyn skalarny i przyrównujemy go do zera
\(\displaystyle{ 2(2t-1)+t-(-t+3)=0}\)
\(\displaystyle{ 6t-5=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{5}{6}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ Q=\left(\frac{10}{6},\frac56,\frac{13}{6}\right)}\)
Odległość \(\displaystyle{ |PQ|}\) jest zarazem szukaną odległością między prostymi.