Stół bilardowy

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

Stół bilardowy

Post autor: gus »

Nie wiedziałem gdzie to dać, więc dałem to do działu z funkcjami...

Oto treść zadania:

Dany jest prostokątny stół bilardowy, którego dwa boki są zawarte w osiach \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\), a jeden z jego wierzchołków ma współrzędne \(\displaystyle{ P=(12,24)}\). Punkty \(\displaystyle{ A=(5,8)}\) i \(\displaystyle{ B=(10,16)}\)symbolizują położenie kul bilardowych. Czy bila \(\displaystyle{ B}\) uderzona przez bilę \(\displaystyle{ A}\) z odpowiednią siłą wzdłuż prostej \(\displaystyle{ AB}\), odbijając się od kolejnych boków stołu, wpadnie do otworu umieszczonego na środku boku na osi \(\displaystyle{ OX}\), czyli w punkcie \(\displaystyle{ C=(6,0)}\)?

Nie mam w ogóle pomysłu na to zadanie, mógłby ktoś dać mi jakąś wskazówkę?
Ostatnio zmieniony 21 gru 2013, o 23:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Stół bilardowy

Post autor: Ania221 »

Trzeba wyznaczyć współrzędne kolejnych punktów, w których bila będzie sie odbijała od ścianek.
Bila odbija się pod takim samym kątem, pod jakim uderza.
Kąt uderzenia pierwszy raz jest taki, że \(\displaystyle{ \tg{\alpha}= \frac{5}{8}}\)
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

Stół bilardowy

Post autor: gus »

Jest to zadania z finału konkursu dla uczniów gimnazjum, więc raczej rozwiązać można bez funkcji trygonometrycznych...
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1561
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 242 razy

Stół bilardowy

Post autor: Gouranga »

jasne, że można bez, z podobieństwa trójkątów
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Stół bilardowy

Post autor: norwimaj »

Musisz sprawdzić, czy na półprostej \(\displaystyle{ BA}\) znajdzie się punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (6+12k,48l)}\) dla \(\displaystyle{ k,l\in\mathbb{Z}}\). Uzasadnienie sam wymyśl.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Stół bilardowy

Post autor: Ania221 »

Pewnie...przecież funkcje trygonometryczne wykorzystują właśnie podobieństwo trójkątów
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

Stół bilardowy

Post autor: gus »

Gouranga pisze:jasne, że można bez, z podobieństwa trójkątów
W jaki sposób?
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1561
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 242 razy

Stół bilardowy

Post autor: Gouranga »

na początku stosunek \(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{5}{8}}\) więc możemy policzyć na jakim y bila uderzy w prawą bandę
\(\displaystyle{ \frac{12}{y_1} = \frac{5}{8}\\
\\
y_1 = 12\cdot 8 : 5 = 96:5 = 19.2}\)


teraz szukamy na jakim \(\displaystyle{ x_1}\) odbije się od górnej bandy, stosunek \(\displaystyle{ \frac{x_1}{y}}\) zostanie nam ten sam z tym, że rozważamy taki trójkąt:
\(\displaystyle{ (12; 19.2), (12;24), (12 - x_1; 24)}\)
więc nasze czyli liczymy sobie ten \(\displaystyle{ x_1}\) jako odległość punktu zderzenia z górną bandą od prawej bandy
\(\displaystyle{ \frac{x_1}{24 - 19.2} = \frac{5}{8}\\
\\
x_1 = 4.8 \cdot 5 : 8 = 3}\)


więc wiemy, że na górnej odbije się w punkcie o 3 od prawej bandy czyli na \(\displaystyle{ (9,24)}\)

teraz dalej z tego samego stosunku liczymy na jakiej odległości od górnej bandy odbije się na lewej itd.
jeśli trafimy na narożnik stołu to oczywiście dalej nie mamy czego liczyć bo bila wpada do łuzy
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

Stół bilardowy

Post autor: gus »

Ok, dzięki, wyszło już, że nie wpadnie.
Mam tylko jedną wątpliwość. W treści było napisane "z odpowiednią siłą", czyli może jeszcze np. znowu odbić się od ścian kolejnych i wpaść?
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Stół bilardowy

Post autor: Ania221 »

Mnie wyszło, że wpadnie...
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

Stół bilardowy

Post autor: gus »

Kontynuując ten tok rozumowania mamy:

\(\displaystyle{ \frac{5}{8}= \frac{9}{y}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{8 \cdot 9}{5}=14,2}\)
Czyli od osi \(\displaystyle{ OY}\) odbije się w punkcie \(\displaystyle{ C=(0;9,8)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{9,8}= \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 8x=49}\)
\(\displaystyle{ x=6 \frac{1}{8}}\)

Więc nie wpadnie.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Stół bilardowy

Post autor: Ania221 »

Tutaj sie pomyliłeś

\(\displaystyle{ y= \frac{8 \cdot 9}{5}=14,2}\)
\(\displaystyle{ \frac{72}{5} =14 \frac{2}{5}}\) a nie dziesiąte
ODPOWIEDZ