Krzywa na sferze

[Natasha]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \gamma}\) leży na sferze o promieniu R, to jej krzywizna jest co najmniej równa \(\displaystyle{ \frac{1}{R}}\) lub większa.

\(\displaystyle{ \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \gamma(t)}\) leży na sferze to musi zachodzić

\(\displaystyle{ \gamma_1^2(t)+\gamma_2^2(t)+\gamma_2^2(t)=R^2}\)

Mój pierwszy i jedyny pomysł na rozwiązanie jest taki, aby policzyć z tego pochodną, ale wtedy zniknie mi R:

\(\displaystyle{ 2\gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +2\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+ 2\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0}\)

\(\displaystyle{ \gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0}\)

Znalazłam taki wzór na \(\displaystyle{ \kappa= \frac{\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)}{\parallel\gamma^{''}(t)\parallel ^2}}\)
(to chyba tylko dla krzywej płaskiej, gdzie \(\displaystyle{ \tau=0}\))
i jak wstawię wyżej, to mam

\(\displaystyle{ 2\kappa \parallel\gamma^{''}(t)\parallel^2=0}\)

Już widać, że źle...

Jak rozwiązać takie zadanie?

[norwimaj]

Lepiej nie stosuj wątpliwego wzoru.

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ \|\gamma'(t)\|=1}\), bo można krzywą odpowiednio zreparametryzować. Kluczem do sukcesu okazuje się zróżniczkowanie iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \gamma(t)\circ\gamma'(t)}\).

[Natasha]

Do którego momentu moje rozwiązanie jest poprawne? Czy w ogóle coś jest dobrze?

\(\displaystyle{ \gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0}\)

Co mi da zróżniczkowanie tego iloczynu skalarnego?

\(\displaystyle{ (\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t))'=\gamma^{'}(t)\circ\gamma^{'}(t)+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=1+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)}\)

Próbowałam też liczyć iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \gamma^{'}(t)}\) i \(\displaystyle{ \gamma^{''}(t)}\), ale to chyba nic nie da, a tylko się zamotam z obliczeniach.

jeszcze jak wezmę równanie \(\displaystyle{ \gamma_1^2(t)+\gamma_2^2(t)+\gamma_3^2(t)=R^2,}\) to mam
\(\displaystyle{ \parallel \gamma(t)\parallel ^2=R^2}\)

[norwimaj]

Do którego momentu moje rozwiązanie jest poprawne? Czy w ogóle coś jest dobrze?

Słusznie stwierdzasz, że \(\displaystyle{ \gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)=0}\), zatem...

\(\displaystyle{ (\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t))'=\gamma^{'}(t)\circ\gamma^{'}(t)+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=1+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)}\)

lewa strona tej równości jest zerem. Dalej wystarczy zastosować ogólnie znaną nierówność.

[Natasha]

Coś dziwnego mi pod koniec wychodzi, ale zapiszę
(chodzi o nierówność Schwarza?)

\(\displaystyle{ 0=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t) \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\left| \gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)\right| \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\parallel \gamma(t)\parallel\cdot \parallel \gamma^{''}(t)\parallel \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\parallel \gamma(t)\parallel ^2\cdot\parallel \gamma^{''}(t)\parallel ^2=1+R^2\cdot \kappa^2}\)

Coś z minusem wyjdzie chyba ta \(\displaystyle{ \kappa}\) ...

A jeśli \(\displaystyle{ \gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)=0,}\) to te krzywe są wzajemnie prostopadłe? nie wiem.

[norwimaj]

Nie dziwię się, że z nierówności \(\displaystyle{ 0\le1+R^2\kappa^2}\) wiele nie wynika. Zrób tak:

\(\displaystyle{ -1=\gamma(t)\circ\gamma''(t),}\)

\(\displaystyle{ 1=|\gamma(t)\circ\gamma''(t)|,}\)

i teraz szacuj.

[Natasha]

\(\displaystyle{ |\gamma(t)\circ\gamma''(t)|\le \parallel \gamma(t)\parallel\cdot \parallel \gamma^{''}(t)\parallel=R\cdot \kappa}\)
\(\displaystyle{ 1\le R\cdot \kappa}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{R}\le \kappa}\)


Stokrotnie dziękuję za pomoc