Uogólniona linia srubowa

[Natasha]

Witam. Mam takie zadanie:

Dla jakich a,b
\(\displaystyle{ \gamma(t)=(at,bt^2,t^3)}\)
jest uogólnioną linią śrubowa?
Krzywa jest ULŚ jeśli iloraz skręcenia i krzywizny jest stały, więc liczę:

krzywizna
\(\displaystyle{ \kappa=\parallel \gamma^{''}(t)\parallel}\)

Po przeliczeniach mam:
\(\displaystyle{ \kappa= \sqrt{4b^2+36t^2}}\)

obliczyłam skręcenie \(\displaystyle{ \tau}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \tau= \frac{(\gamma ^{'}\times \gamma^{''})\circ\gamma^{'''}}{\parallel \gamma ^{'}\times \gamma^{''}\parallel ^2}}\) i otrzymałam

\(\displaystyle{ \tau= \frac{3ab}{9b^2t^4+9a^2 t^2+a^2b^2}}\)

Co dalej mam z tym zrobić?

[norwimaj]

Czy jesteś pewna, że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest parametryzacją unormowaną?

[Natasha]

Nie, ponieważ

\(\displaystyle{ \parallel \gamma^{'}(t)\parallel= \sqrt{a^2+4b^2t^2+9t^4}}\)

nie dla każdego t jest równe 1?

Więc muszę najpierw sparametryzować krzywą \(\displaystyle{ \gamma}\) łukowo?

[norwimaj]

Jeśli zamierzasz stosować wzory, które wymagają parametryzacji łukowej, to nie ma innej rady.

[Natasha]

A z równań freneta można zrobić to zadanie? Bo jak próbuje sparametryzować tę krzywą, to wychodzi trudna do policzenia całka z pierwiastkiem.

[norwimaj]

Nie jestem pewien, które wzory są nazywane wzorami Freneta, ale na pewno możesz skorzystać z takich wzorów:

\(\displaystyle{ \kappa(t)=\frac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3},}\)

\(\displaystyle{ \tau(t)=\frac{\det(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}.}\)

[Natasha]

No to wychodzi jeszcze gorzej niż wcześniej:

\(\displaystyle{ \kappa= \frac{\sqrt{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}}\)

\(\displaystyle{ \tau= \frac{12ab}{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}\)

Jak to ruszyć? Bo niezależnie do którego wzoru nie podstawię, i tak nie wiem jak wyznaczyć a i b, żeby to była linia śrubowa.

[norwimaj]

Gdy \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\), to dostajemy krzywą płaską i iloraz skręcenia i krzywizny jest stale równy \(\displaystyle{ 0}\).

W przeciwnym wypadku, gdyby iloraz \(\displaystyle{ \frac{\tau(t)}{\kappa(t)}}\) był stały, to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}\frac{\tau(t)}{\kappa(t)}=\frac{\tau(0)}{\kappa(0)}}\).

[Natasha]

W rozwiązaniu jest wskazówka, że \(\displaystyle{ \frac{\tau}{\kappa}=const \Leftrightarrow 4b^2=9a^2.}\)

Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\). Tylko jak otrzymać \(\displaystyle{ 4b^2=9a^2}\)...

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \kappa= \frac{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}}\)

Hm, czy w liczniku nie brakuje pierwiastka?

Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\).

Tego nie rozumiem. Stałość w tym wypadku polega na tym, że wstawiając różne \(\displaystyle{ t}\) otrzymujesz ten sam wynik.

[Natasha]

poprawione