Udowodnić, iż iloczyn nie zależy od wyboru punktów

[Peter Zof]

Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-8y+12=0}\) w dwóch punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ |OA| \cdot |OB|}\) nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu. Punkt \(\displaystyle{ O}\) to początek układu współrzędnych.

Otóż doprowadziłem równanie okręgu do odpowiedniej postaci z czego otrzymałem takie wiadomości:
\(\displaystyle{ S(0,4)}\) to środek tego okręgu, a jego promień to \(\displaystyle{ r=2}\).

Wyliczyłem też, że aby prosta nie była rozłączna z okręgiem to jej odległość od środka okręgu musi być mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\) z czego otrzymałem że jej współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a}\) musi czynić zadość nierówności \(\displaystyle{ |a|> \sqrt{3}}\)

Za równanie mojej prostej przyjąłem \(\displaystyle{ y=ax}\).

Tutaj zaczynają się moje problemy, bowiem nie wiem jak dalej to wyliczyć. Przyjąłem, że:

\(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A})}\) oraz \(\displaystyle{ B=(x_{B}, y_{B})}\), a więc iloczyn \(\displaystyle{ |OA| \cdot |OB|}\) to: \(\displaystyle{ \sqrt{x_{A}^{2}+y_{a}^{2}} \cdot \sqrt{x_{B}^{2}+y_{B}^{2}}}\)

Proszę o wskazówki!

[piasek101]

69845.htm

[Peter Zof]

Co do tamtego tematu to nie za bardzo rozumiem skąd mu wychodzi:

\(\displaystyle{ |OA|^2=x_A^2+y_A^2=(a^2+1)x_A^2}\)

[Ania221]

A czy tu nie będzie miało zastosowania twierdzenie o dwóch siecznych?
wtedy, jeżeli pubkty przecięcia okręgu z osią \(\displaystyle{ OY}\) ptrząc od \(\displaystyle{ 0(0,0)}\) nazwiemy \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ \left|OC \right| \cdot \left|OD\right|=\left| OA\right| \cdot \left| OB\right|}\)
i ten iloczyn jest stały.