Kąt pomiędzy: płaszczyznami, płaszczyzną i prostą

[piotrekdoro]

Witam. Proszę o odpowiedź na kilka pytań.
1). Ostatnio próbowałem obliczyć kąt między dwoma płaszczyznami podanymi w postaci ogólnej. Oto lista kroków, które wykonałem:
- wyznaczyłem po 3 punkty należące do tych płaszczyzn,
- wyznaczyłem po 2 wektory na każdej z płaszczyzn rozpięte między tymi punktami,
- wyznaczyłem 2 wektory prostopadłe do wspomnianych wyżej par wektorów korzystając z iloczynu skalarnego
- użyłem zależności znalezionej na tym forum https://www.matematyka.pl/171773.htm
\(\displaystyle{ \cos \alpha =\left| \cos \beta \right|}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między płaszczyznami a \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt między ich wektorami normalnymi Proszę o potwierdzenie prawdziwości tej zależności (w miarę możliwości z uzasadnieniem) lub podanie alternatywnej metody rozwiązania zadania

2). Kąt między prostą a płaszczyzną. Podobnie jak wyżej wyznaczyłem wektor normalny płaszczyzny, a następnie wektor kierunkowy prostej Skorzystałem z zależności \(\displaystyle{ \sin \alpha =\left| \cos \beta \right|}\) znalezionej tutaj: https://www.matematyka.pl/174462.htm \(\displaystyle{ \alpha}\)- kąt między prostą a płaszczyzną, \(\displaystyle{ \beta}\)- kąt między wektorem normalnym płaszczyzny a kierunkowym prostej. Ponownie proszę o potwierdzenie i wyjaśnienie

[a4karo]

Chyba prościej jest odpowiedzieć na pytanie: jak wygląda wektor normalny do płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+cz+D=0}\)

Nawiasem mówiąc ten wektor prostopadły do dwóch wektorów liczyłeś iloczynem skalarnym? Są szybsze metody...