sześciokąt foremny

[majkel2805]

wykaż że środkowe przeciwległych boków w sześciokącie foremnym przecinają sie w jednym punkcie.

[Ania221]

Umieścić sześciokąt w ukladzie współrzędnych, tak, aby jedna z symetralnych boków była osią \(\displaystyle{ OX}\).
Napisać równania dwóch boków przecinających sie na osi \(\displaystyle{ OY}\).
Znaleźć równania symetralnych tych boków.
Z układu równań wyliczyć punkt przecięcia, czyli \(\displaystyle{ O(0,0)}\)

[tomkoder]

Dowód lepszy od dowodu Ani221 ponieważ nic nie trzeba liczyć

1. Sześciokąt foremny ma kąt między przyległymi bokami \(\displaystyle{ 60^{o}}\)
2. Na sześciokącie foremnym można opisać okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\)
3. Z tego wynika że wszystkie wierzchołki leżą na okręgu a co trzeci wierzchołek "leży pod kątem" \(\displaystyle{ 180^{o}}\) czyli naprzeciwko czyli A jest naprzeciwko D itd.
4. Skoro tak to połączmy wierzchołki A z D oraz C z F oba powstałe odcinki to średnice, mają długość 2*R i przecinają się w połowie długości czyli w środku okręgu.
Taki układ takich odcinków spełnia warunki bycia przekątnymi prostokąta.
5. Z tego wynika ze figura ACDF jest prostokątem.
6. Przeciwległe boki prostokąta (powiedzmy AF oraz CD) są do siebie równoległe, a więc ich środkowe również muszą być do siebie równoległe
7. A skoro obie środkowe są równo oddalone od pozostałych boków (DF oraz AC) to nie dość że są równoległe to leżą na tej samej prostej.

I teraz dwie wersje tego co dalej:
1. Wykazujemy że środkowe prostokąta ACDF przecinają się z obiema przekątnymi w jednym punkcie a taki może być tylko jeden - środek okręgu opisanego na sześciokącie; W związku z tym dla pozostałych prostokątów BCEF oraz ABDE zachodzi wszytko co powyżej czyli wszystkie środkowe wszystkich boków sześciokąta przecinają się w jednym punkcie
2. Skoro kąty między przyległymi bokami sześciokąta to \(\displaystyle{ 60^{o}}\)to obracając prostokąt ACDF o \(\displaystyle{ 60^{o}}\) otrzymujemy prostokąt ABDE, a obracając o kolejne \(\displaystyle{ 60^{o}}\) otrzymujemy BCEF (a obracając o kolejne \(\displaystyle{ 180^{o}}\) otrzymujemy z powrotem ACDF) w związku z czym środkowe wszystkich tych prostokątów muszą się przecinać w tym samym punkcie a co za tym idzie również środkowe boków sześciokąta.

-- 14 gru 2013, o 23:04 --

Trochę inaczej ale już z liczeniem:

Mamy sześciokąt foremny ABCDEF.
Opisujemy na nim okrąg o promieniu R i środku w pkt. O

1. Łączymy A z B z O, otrzymujemy trójkąt ABO. Jest to trójkąt równoboczny co wiemy ponieważ uważaliśmy na lekcjach matematyki. Chociaż można to też wykazać
Skoro już to wiemy (lub wykazaliśmy) to wiemy już że ma równe boki, jego wysokość to \(\displaystyle{ \frac{AB* \sqrt{3}}{2}}\)
2. Rzucamy tę wysokość z pkt O na bok AB trójkąta ABO. Ona trafia na bok AB w pkt. G
3. Wykorzystując wiedzę że wysokość pada na podstawę pod kątem \(\displaystyle{ 90^{o}}\) czyli trójkąt AOG jest prostokątny o jednym boku długości AB a drugim h oraz sinusy względnie cosinusy, wyliczamy że \(\displaystyle{ AG=GB= \frac{1}{2}AB}\)
4. Skoro OG pada na AB pod kątem \(\displaystyle{ 90^{o}}\) oraz dzieli AB na połowy to OG jest środkową AB
5. Skoro sześciokąt foremny można podzielić na 6 równobocznych trójkątów identycznych z ABO to dla każdego pozostałego rozumowanie będzie identyczne pozostawiając wniosek że środkowe wszystkich boków sześciokąta maja punkt wspólny w O-- 14 gru 2013, o 23:18 --Trzeci dowód (bez liczenia):

W sześciokąt foremny wpisujemy okrąg o środku w O i promieniu R
1. Wiemy że ten okrąg ma punkty styczne z sześciokątem w połowie długości jego boków ponieważ jest to aksjomat którego uczyli nas w szkole.
2. Skoro tak to odcinki łączące punkty styczności sześciokąta z okręgiem z pkt O są promieniami R tego okręgu.
3. Wiemy też że co trzeci wierzchołek sześciokąta leży na tej samej prostej (ponieważ kąty między przyległymi bokami są \(\displaystyle{ 60^{o}}\) więc co trzeci wierzchołek jest "odległy" o \(\displaystyle{ 180^{o}}\) )
4. Skoro tak to punkty styczności sześciokąta z okręgiem przeciwległych boków również muszą leżeć na jednej prostej, a z punktu 2. wiemy że ta prosta musi przechodzić przez środek okręgu - pkt. O
5. Ponieważ nie braliśmy pod uwagę żadnych konkretnych przeciwległych boków to rozumowanie automatycznie stosuje się do dwóch pozostałych par i wykazuje co chcieliśmy.

[Ania221]

Przeczytaj uważnie to co napisałeś, analizując dokladnie każe użyte określenie.
Zaczynając od pierwszego zdania.

[tomkoder]

Zaiste, uwaga nie bez racji i wypada za nią tylko podziękować.

Postaram się odeprzeć zarzuty poniżej jako że nie widzę już możliwości edycji posta.

Na początek zaznaczam że w kontekście tego zadania jako środkową odcinka (boku) rozumiem prostą przecinającą ten odcinek (bok) pod kątem prostym i dzielącą go na dwie równe części - a nie środkową w rozumieniu środkowej trójkąta albo linii środkowej w trójkącie.
Wydaje mi się że w tym zadaniu nie można tego rozumieć inaczej, ale skoro są wątpliwości to wolę doprecyzować.

Drugi dowód jest OK, natomiast w pierwszym i trzecim wynikły pewne nieścisłości dotyczące kątów.

Powstały z mojej winy:
Mianowicie w dowodzie 1 w pkt 1 powinno być oczywiście \(\displaystyle{ 120^o}\)

Natomiast w pozostałych miejscach dowodu 1 oraz 3 pisząc o kącie między przyległymi bokami nie chodziło mi o kąt między przyległymi bokami sześciokąta ABCDEF czyli np. kąt ABC, lecz, po opisaniu okręgu o środku w pkt. O na tym sześciokącie - o kąt pomiędzy promieniami łączącymi przyległe wierzchołki, czyli np. AOB.
Czyli o kąt pomiędzy przyległymi bokami trójkąta równobocznego ABO.

Wyjaśnienie powinno znaleźć się w pkt 3 pierwszego dowodu.

Po rozpoczęciu pisania po prostu przestawiłem się w głowie na te drugie boki, nie zauważyłem że nigdzie tego nie wyjaśniłem, i automatycznie z rozpędu wszędzie pisałem błędnie o "przyległych bokach sześciokąta".

Mam nadzieję że te wyjaśnienia rozproszą wszelkie wątpliwości.