Wyznacz równanie okręgu

Espeqer · Post autor: **Espeqer** » 12 gru 2013, o 21:23

Witam. Proszę o pomoc w następującym zadaniu:

1. Okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=5[j]}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ k: 4x+3y-35=0}\) w punkcie \(\displaystyle{ A=(5,5).}\) Wyznacz równanie tego okręgu.

Więc tak. Oczywiście nakombinowałem się przy tym zadaniu. Policzyłem prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ k}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A=(5,5)}\). Wiem, że odległość środka od prostej jest taka sama jak promień tego okręgu czyli odcinek \(\displaystyle{ |SA|}\). Ale nie wiem teraz, co dalej zrobić, żeby uzyskać równanie tego okręgu (jak wyliczyć x i y).

Z góry dziękuję,

Espeqer.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 gru 2013, o 21:26

Np szukając punktów wspólnych okręgu o danym promieniu i środku w A ze znalezioną prostą.

Espeqer · Post autor: **Espeqer** » 12 gru 2013, o 21:36

Rozumiem, że chodzi o takie coś:

\(\displaystyle{ o _{A}: (x-5)^2+(y-5)^2=25}\)

Ok. To jest okrąg, którego środkiem jest punkt A. Leży on na prostej prostopadłej do k. Ale co dalej? Ciągle tego nie rozumiem. Oczywiście chciałbym sam do tego dojść.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 gru 2013, o 21:39

Do tego masz równanie znalezionej prostopadłej. Okrąg (z ostatniego posta) przecina prostą w szukanych środkach (jest takich dwa) - bo ich właśnie Ci brakuje.

Espeqer · Post autor: **Espeqer** » 12 gru 2013, o 21:45

Wtedy otrzymuję zależność z długości \(\displaystyle{ |SA|, że |SA|= \sqrt{(5-a)^2+(5-b)^2}=5}\)

ale wyjdzie tylko równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Skąd wziąć drugie równanie?
Czy mogę zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ d= \frac{|4a+3b-35|}{\sqrt{25} } = 5}\)?

Z takiej zależności to dałoby się już policzyć, bo wiadomo że wartości musza być dodatnie, więc wartość bezwzględną bym mógł opuścić. Tylko nie wiem, czy to poprawnie zapisałem.

/// Wyszło mi a=9 i b=8.
Czyli \(\displaystyle{ o: (x+9)^2+(y+8)^2=25}\).

Czy ktoś mógłby sprawdzić, czy to jest poprawna odpowiedź (niestety nie posiadam odpowiedzi w podręczniku).?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 gru 2013, o 21:52

W okręgu i prostej masz niewiadome (x) i (y) - dwa równania dwie niewiadome.

Espeqer · Post autor: **Espeqer** » 12 gru 2013, o 21:54

Aha, wreszcie to rozumiem. Serdecznie dziękuję za pomoc. Sprawdze sobie, czy wyniki się zgadzają tym sposobem. Temat do zamknięcia.