Układy równań do rozwiązania

[Czingisham]

Mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tych zadań ? Potrzebuje je na zbliżające się kolokwium ,byłbym bardzo wdzięczny

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=-1\\2x_{2}-2x_{3}=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-y=x+4z\\-x+2y+2=3-y-4z\\x+4z+3y=2y+4x+1 \end{array}\right.}\)


a) Przedstaw rozwiązanie ogólne i podaj interpretacje geometryczną\ b)Podaj dwa różne (jeśli istnieją rozwiązania szczegółowe\ c) Dla jednego z nich sprawdź czy spełnia ukł. równań\ d) Czy istnieją rozwiązania nieujemne? Jeśli tak podaj jedno z nich

Jeśli umieściłem temat w złym dziale to z góry przepraszam.

[chris_f]

W pierwszym można stosować twierdzenie Kroneckera-Capellego, ale od razu widać, że wyznacznik dla dwóch pierwszych niewiadomych jest niezerowy.
Przyjmujemy zatem trzecią niewiadomą jako parametr i dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+4x_2=-1-2x_3\\2x_2=2+2x_3\Rightarrow x_2=1+x_3\end{cases}}\)
Wstawiamy do pierwszego i mamy
\(\displaystyle{ x_1+4+4x_3=-1-2x_3}\)
\(\displaystyle{ x_1=-5-6x_3}\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ x_3=t}\) dostajemy równanie ogólne
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1=-5-6t\\ x_2=1+t\\ x_3=t\end{cases}}\)
Jest o równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (-5,1,0)}\) o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ [-6,1,1]}\).
Dwa różne rozwiązania szczegółowe dostaniesz wstawiając za \(\displaystyle{ t}\) dowolne liczby.
Jak już będziesz miał te rozwiązania, to wstaw je do układu początkowego.
Co do rozwiązania nieujemnego, należy rozwiązać układ nierówności

\(\displaystyle{ \begin{cases}
-5-6t\ge0\\ 1+t\ge0\\ t\ge0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}t\le-\frac56\\ t\ge1\\ t\ge0\end{cases}}\)
Nietrudno zauważyć, że jest to układ sprzeczny (pierwsza nierówność daje rozwiązania ujemne, następne dodatnie), czyli nie ma rozwiązania dodatniego.

Z drugim układem zrób podobnie (uporządkuj), policz wyznacznik macierzy głównej. jeżeli wyjdzie różny od zera, to będzie tylko jedno rozwiązanie - punkt wspólny trzech płaszczyzn), jeżeli równy zeru, to jedno z równań odrzucasz i masz sytuację jak w zadaniu pierwszym.

[Gouranga]

ja bym pierwsze przywalił Gaussem

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=-1\\
2x_{2}-2x_{3}=2\end{cases}
\\
\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 4 & 2 & -1\\
0 & 2& -2 & 2
\end{array}\right]}\)
od razu mamy macierz schodkową, robimy podstawienie
\(\displaystyle{ x_3 = \alpha\\
2x_2 -2\alpha = 2\\
2x_2 = 2+2\alpha\\
x_2 = 1+\alpha\\
\\
\\
x_1 + 4(1+\alpha) + 2\alpha = -1\\
x_1 + 4 + 4\alpha + 2\alpha = -1\\
x_1 = -1 -4 -4\alpha -2\alpha\\
x_1 = -5 -6\alpha}\)

rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1 = -5-6\alpha\\
x_2 = 1+\alpha\\
x_3 = \alpha
\end{cases}}\)