Przynależnośc kolumn macierzy do przestrzeni układu równań

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
lukasz1994
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 4 paź 2013, o 21:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wwa

Przynależnośc kolumn macierzy do przestrzeni układu równań

Post autor: lukasz1994 »

Witam
Mam takie zadanie :
Które z kolumn macierzy B=
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c}0&2&2&1&0\end{array}
\begin{array}{c}2&2&0&1&4\end{array}
\begin{array}{c}2&-1&-5&-3&5\end{array}
\begin{array}{c}2&1&-2&-1&5\end{array}
\begin{array}{c}3&1&-4&-2&7\end{array}
\right]}\)


należą do przestrzeni opisanej układem równań Ax = 0 ?
A=
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c}1&2\end{array}
\begin{array}{c}-2&3\end{array}
\begin{array}{c}3&-4\end{array}
\begin{array}{c}2&-2\end{array}
\begin{array}{c}1&-3\end{array}
\right]}\)


Czy z kolumn tych można wybrać bazę ?

Zupełnie nie wiem czy dobrze się za to zabieram. Obliczyłem przestrzeń rozwiązań

Rozw =
\(\displaystyle{ L(
\left[
\begin{array}{c}-1&10&1&0&0\end{array}
\right],
\left[
\begin{array}{c}0&2&2&1&0\end{array}
\right],
\left[
\begin{array}{c}0&5&3&0&1\end{array}
\right]
)}\)


No i właśnie tylko jedna kolumna macierzy A należy do tej przestrzeni więc nie wiem czy to o to chodzi w tym zadaniu. Moglibyście napisać kroki jakie należy wykonać w tym zadaniu ?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Przynależnośc kolumn macierzy do przestrzeni układu równań

Post autor: bartek118 »

Kroki wyglądają tak:
1. Rozwiązujesz układ: \(\displaystyle{ Ax=0}\). Otrzymasz bazę przestrzeni rozwiązań \(\displaystyle{ \mathfrak{B}}\).
2. Dla każdego wektora \(\displaystyle{ v \in \mathfrak{B}}\) sprawdzamy, czy nie jest kombinacją liniową kolumn macierzy \(\displaystyle{ B}\), tzn. sprawdzamy, czy jeśli \(\displaystyle{ v = \alpha_1 B_1 + \ldots + \alpha_5 B_5}\), to \(\displaystyle{ \alpha_i = 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i}\). Wszystkie takie kolumny należą do przestrzeni rozwiązań. Oznaczmy zatem zbiór tych kolumn przez \(\displaystyle{ X}\).
3. Znajdujemy bazę \(\displaystyle{ X}\), niech będzie to \(\displaystyle{ \mathfrak{B}'}\).
4. Jeśli \(\displaystyle{ \left| \mathfrak{B}' \right| = \left| \mathfrak{B} \right|}\) to można wybrać bazę, a jak nie, to nie można.
ODPOWIEDZ