Symetria w R^3 względem prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Czy ktoś wie jak zmienią się współrzędne punktu \(\displaystyle{ A=(x,y,z)}\) w symetrii w \(\displaystyle{ R^3}\) względem prostej \(\displaystyle{ l: x+y=0, z=0}\)?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: Kartezjusz »

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez punkt.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Nie mogę zapisać równania prostej, skoro nie znam współrzędnych punktu A po przekształceniu.
Poza tym potrzebuje dwóch punktów, aby zapisać równanie.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: Kartezjusz »

Masz punkt i wektor kierunkowy swojej prostej . Co wiemy o osi symetrii prostej?
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Ale osią symetrii jest właśnie ta prosta.
Chodzi mi tylko o to jakie jak będą wyglądały współrzędne punktu A po przekształceniu.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: Kartezjusz »

Chodzi mi o to jaka ta prosta jest w stosunku do tej osi. Dążymy do znalezienia bardzo pomocnego wektora.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: alfgordon »

Wyznacz płaszczyznę prostopadłą do tej prostej i przechodzącą przez punkt A.
Potem wyznacz punkt przecięcia się prostej i płaszczyzny.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ [1,1]}\) ?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: alfgordon »

Nie, masz prostą w przestrzeni a nie na płaszczyźnie.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

\(\displaystyle{ [1,1,1]}\) ?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: alfgordon »

Nie, jaka jest postać parametryczna tej prostej?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: norwimaj »

Płaszczyzna prostopadła do prostej, to oczywiście \(\displaystyle{ \mathrm{lin}\{(1,1,0),(0,0,1)\}}\). Do tego nie trzeba równania parametrycznego prostej.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Totalnie nie radzę sobie z geometrią.. A szczególnie jeśli działamy w \(\displaystyle{ R^3}\).
Proszę, możecie mi powiedzieć jak ma wyglądać rozwiązanie tego zadania? Może analizując Wasze rozwiązanie zrozumiem skąd co się wzięło..
\(\displaystyle{ \mathrm{lin}\{(1,1,0),(0,0,1)\}}\) nie wiem co to oznacza..
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: norwimaj »

To może jednak z wektorem kierunkowym prostej będzie łatwiej. Nie zwróciłem uwagi, że to dział "algebra liniowa".

Czy wiesz dlaczego wektory \(\displaystyle{ (1,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) są prostopadłe do danej prostej?-- 28 lis 2013, o 19:40 --Albo nawet bez tych prostopadłych wektorów. Podstawiając \(\displaystyle{ t:=x}\) otrzymujemy równanie parametryczne prostej: \(\displaystyle{ (x,y,z)=(t,-t,0)}\). Teraz można znaleźć rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ A}\) na tę prostą.
ollika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 gru 2010, o 15:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Symetria w R^3 względem prostej

Post autor: ollika »

Nie wiem jak wyznaczyć wektor kierunkowy tej prostej.
A o tych wektorach \(\displaystyle{ (1,1,0) i (0,0,1)}\) wiem tylko, ze są prostopadłe względem siebie, bo ich iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ 0}\).-- 28 lis 2013, o 20:53 --Tylko w zadaniu mowa jest o symetrii względem tej prostej.
ODPOWIEDZ