Wykazać, że dane przekształcenie jest obrotem w R^3

[ollika]

Bardzo proszę o pomoc,
mam takie zadanie:

Wykazać, ze następujące przekształcenie jest obrotem w \(\displaystyle{ R^3}\):

\(\displaystyle{ f(x,y,z)= ( \frac{1}{2} x+ \frac{1}{2} y+ \frac{ \sqrt{2} }{2} z, \frac{1}{2} x+ \frac{1}{2} y- \frac{ \sqrt{2} }{2} z, \frac{ -\sqrt{2} }{2} x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} y )}\)
Podać oś i kąt obrotu.

Jeśli chodzi o oś obrotu, to tworze macierz przekształcenia \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}\\\frac{1}{2} &\frac{1}{2}&-\frac{ \sqrt{2} }{2}\\ -\frac{ \sqrt{2} }{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}&0\end{array}\right]}\)

a następnie macierz \(\displaystyle{ A-I}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} &\frac{1}{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}\\\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}&-\frac{ \sqrt{2} }{2}\\ -\frac{ \sqrt{2} }{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}&-1\end{array}\right]}\)

I na tym generalnie moja wiedza sie konczy, nie wiem po co te macierze i co z tym dalej zrobic..

[Kartezjusz]

W wikipedii jest postać macierzy obrotu.

[norwimaj]

W wikipedii jest postać macierzy obrotu.

W jakim artykule? Chętnie też spojrzę.

a następnie macierz \(\displaystyle{ A-I}\):
(...)
I na tym generalnie moja wiedza sie konczy, nie wiem po co te macierze i co z tym dalej zrobic..

Czyli tworzysz macierz \(\displaystyle{ A-I}\), ale nie wiesz po co? Jak wygląda macierz obrotu w bazie ortonormalnej, w której jeden z wektorów jest równoległy do osi obrotu?

[ollika]

Robiliśmy to zadanie na zajęciach, ale nie rozumiem dlaczego działamy tak a nie inaczej, wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} &\frac{1}{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}\\\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}&-\frac{ \sqrt{2} }{2}\\ -\frac{ \sqrt{2} }{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}&-1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} -\frac{1}{2} &\frac{1}{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}&0\\\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}&-\frac{ \sqrt{2} }{2}&0\\ -\frac{ \sqrt{2} }{2}&\frac{ \sqrt{2} }{2}&-1&0\end{array}\right]}\)
przekształcam:
\(\displaystyle{ w_{1} *(-2)\\
w_{2} -w_{1}\\
w_{3} -\sqrt{2}w_{1}}\)
i otrzymuje:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&- \sqrt{2}&0 \\0&0&0&0\\0&0&-2&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=y\\z=0\end{cases}}\)
gdzie prosta l jest naszą osią obrotu.
Nie mam pojecia dlaczego działamy tak a nie inaczej i nie wiem jak znaleźć kąt obrotu.

[norwimaj]

Nie wiem niestety, ile wiesz z algebry liniowej, a ile nie wiesz. Czy potrafisz odpowiedzieć na poniższe pytanie?

Jak wygląda macierz obrotu w bazie ortonormalnej, w której jeden z wektorów jest równoległy do osi obrotu?