Objętość czworościanu ABCD - sprawdzenie

[fejsbukowicz1916]

Dane są punkty: \(\displaystyle{ A(0,0,0)}\), \(\displaystyle{ B(4,-1,2)}\), \(\displaystyle{ C(1,0,3)}\) oraz \(\displaystyle{ D(2,2,2)}\). Obblicz objętość czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\).

Potrzebuję do tego wysokości (AD wektorowo) oraz pola podstawy czyli ABxAC. AD wyszło mi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\), natomiast pole podstawy to \(\displaystyle{ \sqrt{110}}\).

Wzór na objętość jest następujący:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}}\) \(\displaystyle{ \cdot |2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{110}| }}\)

\(\displaystyle{ V = 6}\)

Mógłby ktoś sprawdzić, czy gdzieś się nie pomyliłem, ew. nanieść poprawki?

[kerajs]

Pole równoległoboku opartego na wektorach AB i AC obliczone jest właściwie. Skąd wiesz że |AD| jest wysokością czworościanu? A niestety nie jest.

Poszukiwaną objętość łatwo można wyliczyć z iloczynu mieszanego:
\(\displaystyle{ V _{czworościanu} = \frac{1}{6} \left( \vec{AD} \right) \cdot \left( \vec{AB} \times \vec{AC} \right)}\)
gdzie kropka w mnożeniu wektorów to iloczyn skalarny, a krzyżyk to iloczyn wektorowy.

Tu powinno Ci wyjść: \(\displaystyle{ V=4}\)

Czworościan ma wysokości |DD'|, gdzie D' to rzut punktu D na płaszczyznę zawierającą punkty A,B i C. Jest kilka sposobów na znalezienie tej wysokości . Np. 1) napisanie prostej przechodzącej przez D i prostopadłej do płaszczyzny ABC. Punkt przebicia to D' ; 2) wykorzystanie wzoru na odległość punktu od płaszczyzny; 3) znalezienie kąta między wektorem AD a normalnym płaszczyzny, itp.

[fejsbukowicz1916]

To w takim razie nie wiem gdzie zrobiłem błąd. Mógłbyś zamieścić tu swoje obliczenia?

[kerajs]

Napisałem już gdzie jest błąd. W Twoim wyliczaniu wysokości |DD'|.

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ V _{\text{czworościanu}} = \left| \frac{1}{6} \left( \vec{AD} \right) \circ \left( \vec{AB} \times \vec{AC} \right)\right|= \frac{1}{6} \left| \left[ 2,2,2\right]\circ\left( \left[ 4,-1,2\right] \times \left[1,0,3 \right] \right) \right|= \frac{1}{6} \left| \left[ 2,2,2\right]\circ\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&-1&2\\1&0&3\end{array}\right|\right|=\frac{1}{6} \left| \left[ 2,2,2\right]\circ\left[ -3,-10,1\right] \right||=\frac{1}{6} \left| -6-20+2 \right|=4}\)

Twoje obliczenia:

.....pola podstawy czyli ABxAC. .............to \(\displaystyle{ \sqrt{110}\)}.

Ty obliczałeś pole równoległoboku rozpiętego na wektorach AB i AC prawdopodobnie tak:
\(\displaystyle{ P _{\text {równoległoboku}} = \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|= \left| \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&-1&2\\1&0&3\end{array}\right| \right|=\left|\left[ -3,-10,1\right] \right||= \sqrt{110}}\)

Potrzebuję do tego wysokości (AD wektorowo) ........ AD wyszło mi\(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\)

Tak, długość wektora AD tyle wynosi ale NIE JEST ona WYSOKOŚCIĄ tego czworościanu. Sposoby na jej znalezienie zawiera mój poprzedni post.