Proszę o pomoc:
1. Na osi Ox znaleźć punkt P równo oddalony od płaszczyzn \(\displaystyle{ 12x-16y+15z+1=0}\), \(\displaystyle{ 2x+2y-z-1=0}\)
2.Dane są wierzchołki czworościanu: \(\displaystyle{ A(0,0,2), B(3,0,5), C(1,1,0), D(4,1,2)}\). Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D na ścianę ABC.
3.Znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora a=[l, m, n] i oddalonej o d od punktu \(\displaystyle{ M_0(x_0,y_0,z_0)}\).
geometria analityczna w przestrzeni - płaszczyzny
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
geometria analityczna w przestrzeni - płaszczyzny
Skoro szukany punkt leży na osi \(\displaystyle{ Ox}\), to możemy go zapisać w postaci \(\displaystyle{ P=(x,0,0)}\).
Korzystamy teraz ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny i mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ d_1=\frac{|12x-16\cdot0+15\cdot0+1|}{\sqrt{12^2+(-16)^2+15^2}}}\)
\(\displaystyle{ d_2=\frac{|2x+2\cdot0-1\cdot0-1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}}\)
Te odległości mają być równe, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|12x+1|}{\sqrt{144+256+225}}=
\frac{|2x-1|}{\sqrt{4+4+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|12x+1|}{25}=\frac{|2x-1|}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3|12x+1|=25|2x-1|}\)
\(\displaystyle{ 3(12x+1)=25(2x-1)\vee 3(12x+1)=-25(2x-1)}\)
\(\displaystyle{ 36x+3=50x-25\vee 36x+3=-50x+25}\)
\(\displaystyle{ 28=14x\vee 86x=22}\)
\(\displaystyle{ x=2\vee x=\frac{11}{43}}\)
W drugim wyznacz równanie płaszczyzny wyznaczonej przez punkty \(\displaystyle{ A, B\ {\rm i}\ C}\), a potem skorzystaj ze wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ D}\) od tej płaszczyzny.
W trzecim: wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest prostopadły do szukanej płaszczyzny, zatem jest jej wektorem normalnym. W takim razie, równanie szukanej płaszczyzny można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ lx+my+nz+D=0}\)
Odległość punktu \(\displaystyle{ M_0}\) od tej płaszczyzny wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \frac{|lx_0+my_0+nz_0+D|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}}\) i ma być równa \(\displaystyle{ d}\), a zatem
\(\displaystyle{ \frac{|lx_0+my_0+nz_0+D|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=d}\)
\(\displaystyle{ |lx_0+my_0+nz_0+D|=d\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
\(\displaystyle{ lx_0+my_0+nz_0+D=\pm d\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
\(\displaystyle{ D=\pm d\sqrt{l^2+m^2+n^2}-(lx_0+my_0+nz_0)}\)
i możemy już zapisać szukane równanie.
Korzystamy teraz ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny i mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ d_1=\frac{|12x-16\cdot0+15\cdot0+1|}{\sqrt{12^2+(-16)^2+15^2}}}\)
\(\displaystyle{ d_2=\frac{|2x+2\cdot0-1\cdot0-1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}}\)
Te odległości mają być równe, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|12x+1|}{\sqrt{144+256+225}}=
\frac{|2x-1|}{\sqrt{4+4+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|12x+1|}{25}=\frac{|2x-1|}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3|12x+1|=25|2x-1|}\)
\(\displaystyle{ 3(12x+1)=25(2x-1)\vee 3(12x+1)=-25(2x-1)}\)
\(\displaystyle{ 36x+3=50x-25\vee 36x+3=-50x+25}\)
\(\displaystyle{ 28=14x\vee 86x=22}\)
\(\displaystyle{ x=2\vee x=\frac{11}{43}}\)
W drugim wyznacz równanie płaszczyzny wyznaczonej przez punkty \(\displaystyle{ A, B\ {\rm i}\ C}\), a potem skorzystaj ze wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ D}\) od tej płaszczyzny.
W trzecim: wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest prostopadły do szukanej płaszczyzny, zatem jest jej wektorem normalnym. W takim razie, równanie szukanej płaszczyzny można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ lx+my+nz+D=0}\)
Odległość punktu \(\displaystyle{ M_0}\) od tej płaszczyzny wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \frac{|lx_0+my_0+nz_0+D|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}}\) i ma być równa \(\displaystyle{ d}\), a zatem
\(\displaystyle{ \frac{|lx_0+my_0+nz_0+D|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=d}\)
\(\displaystyle{ |lx_0+my_0+nz_0+D|=d\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
\(\displaystyle{ lx_0+my_0+nz_0+D=\pm d\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
\(\displaystyle{ D=\pm d\sqrt{l^2+m^2+n^2}-(lx_0+my_0+nz_0)}\)
i możemy już zapisać szukane równanie.