odległość punkt od prostej

[jaranna]

Witam,

Bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ P(1;1;1)}\) od prostej wyznaczonej poprzez przecięcie się płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \pi _{1}: x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ \pi _{2}: 2x-2z+y=0}\)

Potrafię wyznaczyć wektor wodzący tej prostej: \(\displaystyle{ \vec{n} _{1} \times \vec{n}_{2} = \vec{v}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = [-3;3;-1]}\)

I dalej nie wiem jak to zrobić tym sposobem...

[Chromosom]

Rozważ płaszczyznę zawierającą prostą powstałą przez przecięcie płaszczyzn oraz punkt \(\displaystyle{ P}\). Na tej płaszczyźnie można wskazać prostą prostopadłą do prostej powstałej przez przecięcie oraz zawierającą punkt \(\displaystyle{ P}\).

[jaranna]

Nie za bardzo wiem jak znaleźć tą płaszczyznę, wiem tylko że mogę postawić sobie współrzędne punktu, no ale to nie wystarczy.

[Gouranga]

to może odwrotnie, spróbuj wyznaczyć zbiór prostych prostopadłych do tej prostej z zadania (wyjdzie ich oczywiście nieskończenie wiele, zbiór wszystkich takich prostych wyznacza przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)) a potem rozważ która prosta z tego zboru przechodzi przez ten punkt

[jaranna]

Tylko jak mogę wyznaczać cokolwiek względem tej prostej, nie mając jej równania?

[Gouranga]

masz już jej wektor kierunkowy tak? to rozwiąż układ równań z równań tych płaszczyzn (wyjdzie nieskończenie wiele rozwiazań) i wybierz dowolne rozwiązanie i mając jeden z tych punktów i wektor kierunkowy możesz wyznaczyć równanie prostej

[jaranna]

Czyli dowolnym rozwiązaniem może być coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x-2z+y=0 \end{cases}}\)
więc odejmując od siebie wychodzi:
\(\displaystyle{ x-3z=0, x=3z}\)
albo:
\(\displaystyle{ -4z-y=0, y=-4z}\)
A-jakiś punkt na prostej:
\(\displaystyle{ A=(3z,-4z,z)}\)
Czyli jeżeli wzięłabym jakikolwiek punkt, powiedzmy dla \(\displaystyle{ z=1}\)
To równanie tej prostej będzie poprawne? Byłoby(l-szukana prosta):
\(\displaystyle{ {l: [3,-4,1] + t*[-3,3,1]; t\in R}\)
Dobrze to zrobiłam?

[Gouranga]

tak
w kwestii formalnej, podając rozwiązania parametryczne układów równań przyjęło się oznaczać parametry greckimi literami zaczynając od \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ P = \{(x,y,z): \quad x = 3\alpha, y = -4\alpha, z=\alpha, \alpha \in \mathbb{R}\}}\)

ale rozwiazanie masz dobre